Дан треугольник АВС, в котором 
В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.
Задача требует найти площади треугольников АВТ и АСТ.
Ясно, что 
По свойству секущей и касательной, проведенной из точки вне круга имеем:
Также заметим, что по свойству касательной к окружности будем иметь: АК = АМ = 4, ВМ = ВТ, СТ = КС.
Случай 1. Пусть BT = BM = x.
По теореме косинусов:
Корень 
не подходит по смыслу задачи.
Значит, 
Итак, 
Случай 2.
Пусть T= C = y.
Тогда по теореме косинусов 
или
Ответ: 
или 