Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505805
i

Окруж­ность ра­ди­у­са дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC, рав­ных со­от­вет­ствен­но 10 и 24.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим центр окруж­но­сти за O, а точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми B и C за K и L со­от­вет­ствен­но. Оче­вид­но BO  — бис­сек­три­са угла ABC. Пусть дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби =r, BK=BL=x, AK=10 минус x, LC=24 минус x. Тогда

AO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , CO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 24 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

По свой­ству бис­сек­три­сы

дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BC конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 24 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ,

24 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =10 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка r в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 24 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,

476r в квад­ра­те плюс 476x в квад­ра­те минус 24 в квад­ра­те умно­жить на 20x плюс 10 в квад­ра­те умно­жить на 48x=0,

476r в квад­ра­те плюс 476x в квад­ра­те минус 24 умно­жить на 10 умно­жить на 28x=0,

17r в квад­ра­те плюс 17x в квад­ра­те минус 240x=0,

120 в квад­ра­те минус 17 умно­жить на 240x плюс 17 в квад­ра­те x в квад­ра­те =0,

левая круг­лая скоб­ка 120 минус 17x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0,

x= дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби =r.

От­сю­да тре­уголь­ни­ки OKB и OLB рав­но­бед­рен­ные, по­это­му \angle OBK=\angle OBL=45 гра­ду­сов, \angle ABC=90 гра­ду­сов.

б)  Длину этой вы­со­ты можно найти по фор­му­ле

h= дробь: чис­ли­тель: 2S_ABC, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 240, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 75
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025