Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 530702

Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояния от нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно.

а) Найдите расстояние от точки K до прямой AB.

б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AB, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и E — основания перпендикуляров, опущенных из точки K на прямые AC и BC соответственно?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть H — проекция точки K на AB. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой \angle FAK=\angle HBK и \angle KAH=\angle KBE. Значит, треугольники FAK и HBK подобны по двум углам и треугольники KAH и KBE подобен по двум углам. Таким образом,

 дробь: числитель: FK, знаменатель: KH конец дроби = дробь: числитель: AK, знаменатель: BK конец дроби = дробь: числитель: KH, знаменатель: KE конец дроби ,

KH в квадрате =FK умножить на KE=39 умножить на 156 равносильно KH= корень из 39 умножить на 156=78.

б) Имеем:

 дробь: числитель: S_FAK, знаменатель: S_HBK конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: FK, знаменатель: HK конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Аналогично,  дробь: числитель: S_KAH, знаменатель: S_KBE конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Значит,

 дробь: числитель: S_FAK плюс S_KAH, знаменатель: S_KHB плюс S_KBE конец дроби = дробь: числитель: S_FAK плюс S_KAH, знаменатель: 4S_FAK плюс 4S_KAH конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: а) 78; б)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.