Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505847
i

Дан тре­уголь­ник ABC, где BA = 5, BC = 8. В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны BC в точке Р. Из­вест­но, что ВР = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВМР, где М  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка АВС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Слу­чай 1. Пусть M при­над­ле­жит AB.

По свой­ству от­рез­ков ка­са­тель­ной к окруж­но­сти MB=3,AM=2,AK=2,CK=5.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов AC в квад­ра­те =AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус 2AB умно­жить на BC умно­жить на ко­си­нус B.

49=25 плюс 64 минус 2 умно­жить на 5 умно­жить на 8 ко­си­нус B;80 ко­си­нус B=40; ко­си­нус B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;B=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

S левая круг­лая скоб­ка BMP пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BM умно­жить на BP умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

 

 

 

Слу­чай 2. Пусть M при­над­ле­жит AС.

В дан­ном слу­чае BK=3,AM=2,AK=2,CM=5.

Най­дем синус \angle C по тео­ре­ме си­ну­сов.

дробь: чис­ли­тель: синус B, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус C, зна­ме­на­тель: AB конец дроби ; синус C= дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на синус B, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 7 конец дроби .

S левая круг­лая скоб­ка BMC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на MC умно­жить на BC умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 8 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 14 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 50 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

S левая круг­лая скоб­ка PMC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на MC умно­жить на PC умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 5 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 14 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 125 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 28 конец дроби .

S левая круг­лая скоб­ка BMP пра­вая круг­лая скоб­ка =S левая круг­лая скоб­ка BMC пра­вая круг­лая скоб­ка минус S левая круг­лая скоб­ка PMC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 50 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 125 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 28 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 28 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 75 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 28 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 2
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025