В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.
б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.
а) Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AC и BC — K и L соответственно. Пусть 
Тогда если r — радиус вписанной окружности и 
Вычислим площадь треугольника ABC двумя способами:
Значит
б) Из пункта а) следует, что 
Найдем радиус вписанной окружности.
Откуда 
и катеты треугольника 
Заметим также, что 
Пусть 
тогда
а 
Значит, 
Ответ: 39.
Приведем другое решение пункта б).
Обозначим 
Поскольку 
а 
по теореме Пифагора для треугольника ABC имеем
Следовательно, стороны треугольника равны BC = 8, AC = 15, AC = 17. Очевидно, CKIL — квадрат, значит, радиус вписанной окружности 
Введем координаты, направив оси вдоль катетов и выбрав начало координат в точке C. Тогда, очевидно, координаты некоторых точек — A(15, 0), B(0,8), центр вписанной окружности I(3, 3), 
(поскольку центр описанной окружности — середина гипотенузы). Тогда прямая OP, проходящая через нее, имеет уравнение 
Расстояние от точки 
до этой прямой должно быть равно трем, откуда
откуда 
(значение 
дает прямую AB).
Итак, уравнение прямой OP таково: 
Значит, координаты точки P — 
Наконец,
Ответ: 39.