Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.
а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны.
б) Найдите AD, если 
а радиус окружности равен 13.
а) Заметим, что 
(первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол) и 
(вписанные, опирающиеся на одну дугу). Значит,
Кроме того из параллельности прямых AD и BC следует, что 
поэтому треугольники подобны по двум углам.
б) Заметим, что
откуда 
Кроме того, 
из параллельности. Значит, 
поэтому BC — касательная к окружности. Тогда высота CH трапеции является частью диаметра окружности и, следовательно, проходит через середину хорды ND, откуда 
Из теоремы синусов для треугольника CDN имеем 
Из пункта а) следует, что 
откуда
Треугольники AMD и DCB подобны по двум углам, откуда 
то есть
Следовательно,
Ответ: б) 