Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 537136

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что AB= корень из 2; угол ABE= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; угол EBD= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; BC=CD.

а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника.

б) Найдите площадь пятиугольника.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме синусов  дробь: числитель: AB, знаменатель: синус \angle AEB конец дроби =2R=2, то есть  синус \angle AEB= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби . Тогда угол AEB равен 45°, откуда угол BAE равен 90°. Следовательно, BE — диаметр окружности.

б) Поскольку угол EBD равен 30°, то дуга ED равна 60°, тогда дуги CD и ED равны также 60°, следовательно, угол BDC равен 30°. Таким образом, получим BD=BE умножить на косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = корень из 3. Далее найдем:

BC=2R умножить на синус \angle BDC=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.

Вычислим площадь пятиугольника ABCDE:

\ левая квадратная скобка S_ABCDE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AB умножить на BE умножить на синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс BE умножить на BD умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс BD умножить на BC умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из 2 умножить на 2 умножить на дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на корень из 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из 3 умножить на 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс корень из 3 плюс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 4 плюс 3 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307. (Часть C)