Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505891
i

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN впи­сан в окруж­ность, его диа­го­на­ли KM и LN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F, при­чем KL  =  8, MN  =  4, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка MNF равен 9, пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLF равна 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KNF.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку \angle LKF=\angle MNF и \angle KLF=\angle NMF (впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу), тре­уголь­ни­ки LKF и MNF по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: KL, зна­ме­на­тель: MN конец дроби =2. Пусть FN=x. Тогда MF=5 минус x, KF=2x, LF=10 минус 2x.

Най­дем по фор­му­ле Ге­ро­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLF.

3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 9 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , 15= левая круг­лая скоб­ка 9 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , x=2 или x=3.

Будем пока счи­тать, что x=2.

Най­дем по тео­ре­ме ко­си­ну­сов угол KFL:

64=16 плюс 36 минус 2 умно­жить на 4 умно­жить на 6 умно­жить на ко­си­нус \angle KFL, ко­си­нус \angle KFL= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

тогда ко­си­нус \angle KFN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке KFN имеем KN в квад­ра­те =16 плюс 4 минус 2 умно­жить на 2 умно­жить на 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , от­ку­да KN=4.

На­ко­нец, по уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов

R_KFN= дробь: чис­ли­тель: KN, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle KFN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

За­ме­тим те­перь, что если x=3, то FL=4, и все вы­чис­ле­ния дают ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной тре­уголь­ни­ка около FLM, ко­то­рый по­до­бен тре­уголь­ни­ку KFN с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около KFN, равен дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби или дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 8
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­но­сти, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025