ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 521495 Добавить в вариант

Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.

а)  Докажите, что ВА  — биссектриса угла КВС.

б)  Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС  =  12.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть точка T  — основание высоты, опущенной из вершины $A.$

$\angle KBA=\angle KHA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAH=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BAT=\angle ABT,$

что и требовалось доказать.

б)   $\angle BAT=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ABT=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle BEA=\angle BHA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle BAE=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Теперь применим теорему синусов

$дробь: числитель: BE, знаменатель: синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: BA, знаменатель: синус 105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус 105 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 2 синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =24,$ откуда $BE=12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 216

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь