Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Длины со­сед­них сто­рон впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка от­ли­ча­ют­ся на 1. Длина наи­мень­шей из них также равна 1. Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть AB  =  1. Тогда AD  =  BC  =  2, CD  =  1 или CD  =  3.

В пер­вом слу­чае ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, а по­сколь­ку впи­сан­ный  — то пря­мо­уголь­ник, при­чем его диа­го­наль  — диа­метр окруж­но­сти. Тогда ее ра­ди­ус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Во вто­ром слу­чае \angle ABD=\angle BAC=\angle BDC (рав­ные хорды стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, углы опи­ра­ю­щи­е­ся на рав­ные дуги, равны), от­ку­да ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Ее вы­со­та равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Ис­ко­мая окруж­ность тогда  — опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка DAC. Най­дем ее ра­ди­ус по фор­му­ле

R_DAC= дробь: чис­ли­тель: DA умно­жить на AC умно­жить на DC, зна­ме­на­тель: 4S_DAC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 30
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Ком­би­на­ции фигур, Окруж­но­сти, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025