В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Пусть этот параллелограмм ABCD, тогда
(из вписанности), откуда 
и ABCD — ромб.
б) Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей ромба и центр вписанной окружности. Опустим высоту OH, пусть 
Опустим также перпендикуляры HE и HF на AO и BO. Тогда прямоугольник EHFO по площади ровно в 4 раза меньше, чем требуемый четырехугольник (он состоит из четырех таких прямоугольников). Тогда
Ответ: 
Как получилось, что OH^2=AH×HB?
Элементарный факт из программы 8 класса. Соотношения в прямоугольном треугольнике. Следует из подобия треугольников на которые разбивает прямоугольный треугольник высота.