Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-⁠то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а) и б)?

Два иг­ро­ка ходят по оче­ре­ди. Перед на­ча­лом игры у них есть по­ров­ну го­ро­шин. Ход со­сто­ит в пе­ре­да­че со­пер­ни­ку лю­бо­го числа го­ро­шин. Не раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­да­вать такое ко­ли­че­ство го­ро­шин, ко­то­рое до этого уже кто‐⁠то в этой пар­тии пе­ре­да­вал. Ноль го­ро­шин тоже пе­ре­да­вать нель­зя. Тот, кто не может сде­лать оче­ред­ной ход по пра­ви­лам, счи­та­ет­ся про­иг­рав­шим. На­чи­на­ю­щий или его со­пер­ник по­бе­дит в этой игре, как бы ни играл партнёр?

Рас­смот­ри­те слу­чаи:

а)  у каж­до­го по две го­ро­ши­ны;

б)  у каж­до­го по три го­ро­ши­ны;

в)  у каж­до­го по N го­ро­шин.

Трое дру­зей иг­ра­ли в шашки. Один из них сыг­рал 25 игр, а дру­гой  — 17 игр. Мог ли тре­тий участ­ник сыг­рать  

а)  34;

б)  35;

в)  56 игр?

Леша за­ду­мал дву­знач­ное число (от 10 до 99). Гриша пы­та­ет­ся его от­га­дать, на­зы­вая дву­знач­ные числа. Если Гриша пра­виль­но на­зы­ва­ет число, или же одну цифру на­зы­ва­ет пра­виль­но, а в дру­гой оши­ба­ет­ся не более чем на еди­ни­цу, то Леша от­ве­ча­ет «тепло»; в осталь­ных слу­ча­ях Леша от­ве­ча­ет «хо­лод­но». (На­при­мер, если за­ду­ма­но число 65, то, на­звав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услы­шит в ответ «тепло», а в осталь­ных слу­ча­ях услы­шит «хо­лод­но».)

а)  По­ка­жи­те, что нет спо­со­ба, при ко­то­ром Гриша га­ран­ти­ро­ван­но узна­ет число, ис­тра­тив 18 по­пы­ток.

б)  При­ду­май­те спо­соб, при ко­то­ром Гриша га­ран­ти­ро­ван­но узна­ет число, ис­тра­тив 24 по­пыт­ки (какое бы число ни за­ду­мал Леша).

в)  А за 22 по­пыт­ки по­лу­чит­ся?

У Лены три на­бо­ра, в каж­дом из ко­то­рых оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ручек (боль­ше 1). У Юли не­сколь­ко (боль­ше 1) на­бо­ров ручек, по 5 штук в каж­дом.

а)  При каком ко­ли­че­стве на­бо­ров у Юли, ко­ли­че­ство всех ручек у Лены не­чет­но, если всего у де­во­чек 105 ручек?

б)  Можно ли раз­ло­жить все ручки Юли и Лены в 12 на­бо­ров по 12 ручек в каж­дом?

в)  Можно ли раз­ло­жить все ручки Юли и Лены в k на­бо­ров по k ручек в каж­дом (k > 3)?

Груп­па пси­хо­ло­гов раз­ра­бо­та­ла тест, прой­дя ко­то­рый, каж­дый че­ло­век по­лу­ча­ет оцен­ку  — число Q  — по­ка­за­тель его ум­ствен­ных спо­соб­но­стей (чем боль­ше Q, тем боль­ше спо­соб­но­сти). За рей­тинг стра­ны при­ни­ма­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское зна­че­ний Q всех жи­те­лей стра­ны.

а)  Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B. Мог ли при этом у обеих стран вы­рас­ти рей­тинг?

б)  После этого груп­па граж­дан стра­ны B (в числе ко­то­рых могут быть и быв­шие эми­гран­ты из A) эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну A. Воз­мож­но ли, что рей­тин­ги обеих стран опять вы­рос­ли?

в)  Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B, а груп­па граж­дан B  — в стра­ну C. В ре­зуль­та­те рей­тин­ги каж­дой стра­ны ока­за­лись выше пер­во­на­чаль­ных. После этого на­прав­ле­ние ми­гра­ци­он­ных по­то­ков из­ме­ни­лось на про­ти­во­по­лож­ное  — часть жи­те­лей C пе­ре­еха­ла в B, а часть жи­те­лей B  — в A. Ока­за­лось, что в ре­зуль­та­те рей­тин­ги всех стран опять вы­рос­ли (по срав­не­нию с теми, что были после пер­во­го пе­ре­ез­да, но до на­ча­ла вто­ро­го). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то по­че­му)? Пред­по­ла­га­ет­ся, что за рас­смат­ри­ва­е­мое время Q граж­дан не из­ме­ни­лось, никто не умер и не ро­дил­ся.

В школе, где учат­ся Поля, Маня и Дуня, есть длин­ный ко­ри­дор вдоль одной из стен ко­то­ро­го рас­по­ло­жен длин­ный ряд из n ячеек, за­ну­ме­ро­ван­ных на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до n, за­кры­ва­ю­щих­ся на замки, в ко­то­рых школь­ни­ки могут хра­нить свои лич­ные вещи. Од­на­ж­ды, придя в школу в вы­ход­ной день, Поля об­на­ру­жи­ла все ячей­ки от­кры­ты­ми. Она стала об­хо­дить ряд ячеек сна­ча­ла до конца, за­кры­вая на замок каж­дую вто­рую ячей­ку. До­стиг­нув конца ряда, она раз­вер­ну­лась и снова стала за­кры­вать на замок каж­дую вто­рую ячей­ку из тех, ко­то­рые еще были от­кры­ты. Таким об­ра­зом, Поля про­дол­жа­ла об­хо­дить ряд и за­кры­вать на замок ячей­ки до тех пор, пока оста­лась не­за­кры­той одна ячей­ка.

Обо­зна­чим номер по­след­ней от­кры­той ячей­ки. На­при­мер, если ко­ли­че­ство ячеек то как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

а)  Най­ди­те

До­ка­жи­те, что:

б)  не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа n, та­ко­го что

в)  су­ще­ству­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел n, таких, что

Дайте обос­но­ван­ные от­ве­ты на сле­ду­ю­щие во­про­сы.

а)  В мешке на­хо­дят­ся 1 жел­тый, 1 зе­ле­ный и 2 крас­ных шара. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют одним шаром тре­тье­го цвета. Этот про­цесс про­дол­жа­ют до тех пор, пока все остав­ши­е­ся шары в мешке не ока­жут­ся од­но­го цвета (воз­мож­но, что при этом в мешке оста­нет­ся один шар) Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке?

б)  В мешке 3 жел­тых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке в конце после при­ме­не­ния опи­сан­ной в преды­ду­щем пунк­те про­це­ду­ры?

в)  В мешке на­хо­дят­ся 3 жел­тых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют двумя ша­ра­ми тре­тье­го цвета. Можно ли, при­ме­няя эту про­це­ду­ру мно­го­крат­но, до­бить­ся того, чтобы в мешке ока­за­лись шары од­но­го цвета? Если можно, то ка­ко­го цвета эти шары?

У Кости была кучка из 100 ка­меш­ков. Каж­дым ходом он делил какую-⁠то из кучек на две мень­ших, пока у него не ока­за­лось 100 кучек по од­но­му ка­меш­ку.

а)  воз­мож­но ли, что в какой-⁠то мо­мент в каких-⁠то 30 куч­ках было ровно 60 ка­меш­ков;

б)  воз­мож­но ли, что в какой-⁠то мо­мент в каких-⁠то 20 куч­ках было в сумме ровно 60 ка­меш­ков;

в)  мог ли Костя дей­ство­вать так, чтобы ни в какой мо­мент не на­шлось 19 кучек, в ко­то­рых в сумме ровно 60 ка­меш­ков?

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор гирек, масса каж­дой из ко­то­рых  — целое число грам­мов, а общая масса всех гирек равна 500 грам­мам. Такой набор на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным, если любое тело, име­ю­щее массу, вы­ра­жен­ную целым чис­лом грам­мов от 1 до 500, может быть урав­но­ве­ше­но не­ко­то­рым ко­ли­че­ством гирек на­бо­ра и при­том един­ствен­ным об­ра­зом (тело кла­дет­ся на одну чашу весов, гирь­ки  — на дру­гую; два спо­со­ба урав­но­ве­ши­ва­ния, раз­ли­ча­ю­щи­е­ся лишь за­ме­ной не­ко­то­рых гирек на дру­гие той же массы, счи­та­ют­ся оди­на­ко­вы­ми).

а)  Яв­ля­ет­ся ли пра­виль­ным набор, со­сто­я­щий из 167 гирек мас­сой по од­но­му грам­му, одной гирь­ки мас­сой 165 грам­мов и одной гирь­ки мас­сой 168 грам­мов?

б)  При­ве­ди­те при­мер пра­виль­но­го на­бо­ра, в ко­то­ром не все гирь­ки по од­но­му грам­му.

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных пра­виль­ных на­бо­ров? (Два на­бо­ра раз­лич­ны, если не­ко­то­рая гирь­ка участ­ву­ет в этих на­бо­рах не­оди­на­ко­вое число раз.)

а)  В клас­се была дана кон­троль­ная. Из­вест­но, что по край­ней мере две трети задач этой кон­троль­ной ока­за­лись труд­ны­ми: каж­дую такую за­да­чу не ре­ши­ли по край­ней мере две трети школь­ни­ков. Из­вест­но также, что по край­ней мере две трети школь­ни­ков клас­са на­пи­са­ли кон­троль­ную хо­ро­шо: каж­дый такой школь­ник решил по край­ней мере две трети задач кон­троль­ной. Могло ли такое быть?

б)  Из­ме­нит­ся ли ответ в этой за­да­че, если за­ме­нить везде в ее усло­вии две трети на три чет­вер­ти?

в)  Из­ме­нит­ся ли ответ в этой за­да­че, если за­ме­нить везде в ее усло­вии две трети на семь де­вя­тых?

На шести елках сидят шесть сорок  — по одной на каж­дой елке. Елки рас­тут в ряд с ин­тер­ва­лом в 10 м. Если какая-⁠то со­ро­ка пе­ре­ле­та­ет с одной елки на дру­гую, то какая-⁠ни­будь дру­гая со­ро­ка обя­за­тель­но пе­ре­ле­та­ет на столь­ко же мет­ров, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии.

а)  Могут ли все со­ро­ки со­брать­ся на одной елке?

б)  А если сорок и елок семь?

в)  А если елки стоят по кругу?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 17 руб­лей, синий  — 13 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять.

а)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 32 ка­ран­да­ша?

б)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 35 ка­ран­да­шей?

в)  Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 18 руб­лей, синий  — 14 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 499 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на шесть.

а)  Можно ли ку­пить 30 ка­ран­да­шей?

б)  Можно ли ку­пить 33 ка­ран­да­ша?

в)  Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить?

В игре «Дро­ти­ки» есть 20 на­руж­ных сек­то­ров, про­ну­ме­ро­ван­ных от 1 до 20 и два цен­траль­ных сек­то­ра. При по­па­да­нии в на­руж­ный сек­тор игрок по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство очков, сов­па­да­ю­щее с но­ме­ром сек­то­ра, а за по­па­да­ние в цен­траль­ные сек­то­ра он по­лу­ча­ет 25 или 50 очков со­от­вет­ствен­но. В каж­дом из на­руж­ных сек­то­ров есть об­ла­сти удво­е­ния и утро­е­ния, ко­то­рые, со­от­вет­ствен­но, удва­и­ва­ют или утра­и­ва­ют но­ми­нал сек­то­ра. Так, на­при­мер, по­па­да­ние в сек­тор 10 (не в зоны удво­е­ния и утро­е­ния) дает 10 очков, в зону удво­е­ния сек­то­ра ― 20 очков, в зону утро­е­ния ― 30 очков.

а)  Может ли игрок тремя брос­ка­ми на­брать ровно 167 очков?

б)  Может ли игрок ше­стью брос­ка­ми на­брать ровно 356 очков?

в)  С по­мо­щью ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства брос­ков, игрок может на­брать ровно 1001 очко?

В роте два взво­да, в пер­вом взво­де сол­дат мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше чем 46, а вме­сте сол­дат мень­ше чем 111. Ко­ман­дир знает, что роту можно по­стро­ить по не­сколь­ко че­ло­век в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­дат, боль­шее 8, и при этом ни в каком ряду не будет сол­дат из двух раз­ных взво­дов.

а)  Сколь­ко сол­дат в пер­вом взво­де и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те хотя бы один при­мер.

б)  Можно ли по­стро­ить роту ука­зан­ным спо­со­бом по 13 сол­дат в одном ряду?

в)  Сколь­ко в роте может быть сол­дат?

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 363. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 4 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 2 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

Участ­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 73 бал­лов. Из-⁠за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 80, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 90, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 65. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 93, а не сдав­ших  — 69. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5 раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

В роте два взво­да, в пер­вом взво­де сол­дат мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше чем 50, а вме­сте сол­дат мень­ше чем 120. Ко­ман­дир знает, что роту можно по­стро­ить по не­сколь­ко че­ло­век в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­дат, боль­шее 7, и при этом ни в каком ряду не будет сол­дат из двух раз­ных взво­дов.

а)  Сколь­ко сол­дат в пер­вом взво­де и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те хотя бы один при­мер.

б)  Можно ли по­стро­ить роту ука­зан­ным спо­со­бом по 11 сол­дат в одном ряду?

в)  Сколь­ко в роте может быть сол­дат?

В одном из за­да­ний на кон­кур­се бух­гал­те­ров тре­бу­ет­ся вы­дать пре­мии со­труд­ни­кам не­ко­то­ро­го от­де­ла на общую сумму 600 000 руб­лей (раз­мер пре­мии каж­до­го со­труд­ни­ка  — целое число, крат­ное 1000). Бух­гал­те­ру дают рас­пре­де­ле­ние пре­мий, и он дол­жен их вы­дать без сдачи и раз­ме­на, имея 100 купюр по 1000 руб­лей и 100 купюр по 5000 руб­лей.

а)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если в от­де­ле 40 со­труд­ни­ков и все долж­ны по­лу­чить по­ров­ну?

б)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если ве­ду­ще­му спе­ци­а­ли­сту надо вы­дать 40 000 руб­лей, а осталь­ные по­де­лить по­ров­ну на 70 со­труд­ни­ков?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве со­труд­ни­ков в от­де­ле за­да­ние удаст­ся вы­пол­нить при любом рас­пре­де­ле­нии раз­ме­ров пре­мий?

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пяти остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

б)  Может ли эта раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

Име­ют­ся ка­мен­ные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (рас­ка­лы­вать глыбы нель­зя).

а)  Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 60 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

б)  Можно ли увез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но на 38 гру­зо­ви­ках, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гру­зо­ви­ков, гру­зо­подъёмно­стью 5 тонн каж­дый, по­на­до­бит­ся, чтобы вы­вез­ти все эти глыбы од­но­вре­мен­но, пред­по­ла­гая, что в гру­зо­вик вы­бран­ные глыбы по­ме­стят­ся?

За но­во­год­ним сто­лом дети ели бу­тер­бро­ды и кон­фе­ты, при­чем каж­дый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и дру­гое. Из­вест­но, что маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, было не более чем от об­ще­го числа детей, евших бу­тер­бро­ды, а маль­чи­ков, евших кон­фе­ты, было не более от об­ще­го числа детей, евших кон­фе­ты.

а)  Могло ли за сто­лом быть 13 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть за сто­лом, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа детей без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

Не­сколь­ко экс­пер­тов оце­ни­ва­ют не­сколь­ко ки­но­филь­мов. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку каж­до­му ки­но­филь­му  — целое число бал­лов от 1 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что каж­до­му ки­но­филь­му все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее гео­мет­ри­че­ское оце­нок всех экс­пер­тов. Сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел равно Ока­за­лось, что рей­тин­ги всех ки­но­филь­мов  — раз­лич­ные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 экс­пер­та и 5 ки­но­филь­мов?

б)  Могло ли быть 3 экс­пер­та и 4 ки­но­филь­ма?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве экс­пер­тов опи­сан­ная си­ту­а­ция воз­мож­на для од­но­го ки­но­филь­ма?

После того, как учи­тель до­ка­зал клас­су новую тео­ре­му, вы­яс­ни­лось, что боль­шая часть клас­са не по­ня­ла до­ка­за­тель­ство (быть может, все  — Решу ЕГЭ). На пе­ре­ме­не один уче­ник вдруг понял до­ка­за­тель­ство (и толь­ко он). Также из­вест­но, что в клас­се учит­ся не более 30, но не менее 20 че­ло­век.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь уже мень­шая часть клас­са не по­ни­ма­ет до­ка­за­тель­ство?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что ис­ход­но про­цент уче­ни­ков, по­няв­ших до­ка­за­тель­ство, вы­ра­жал­ся целым чис­лом, а после пе­ре­ме­ны  ― не­це­лым чис­лом?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­нять про­цент уче­ни­ков клас­са, так и не по­няв­ших до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы?

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из 134 фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округлённая до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 17 по­се­ти­те­лей сайта, и рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста стал равен 41. Уви­дев это, Вася отдал свой голос за дру­го­го фут­бо­ли­ста. Чему те­перь равен рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста?

б)  Вася про­го­ло­со­вал за не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста. Могла ли после этого сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов умень­шить­ся не менее чем на 27?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма рей­тин­гов всех фут­бо­ли­стов?

В груп­пе по­ров­ну юно­шей и де­ву­шек. Юноши от­прав­ля­ли элек­трон­ные пись­ма де­вуш­кам. Каж­дый юноша от­пра­вил или 4 пись­ма, или 21 пись­мо, причём и тех, и дру­гих юно­шей было не менее двух. Воз­мож­но, что какой-⁠то юноша от­пра­вил какой-⁠то де­вуш­ке не­сколь­ко писем.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая де­вуш­ка по­лу­чи­ла ровно 7 писем?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство де­ву­шек могло быть в груп­пе, если из­вест­но, что все они по­лу­чи­ли писем по­ров­ну?

в)  Пусть все де­вуш­ки по­лу­чи­ли раз­лич­ное ко­ли­че­ство писем (воз­мож­но, какая-то де­вуш­ка не по­лу­чи­ла писем во­об­ще). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек в такой груп­пе?

В одном из за­да­ний на кон­кур­се бух­гал­те­ров тре­бу­ет­ся вы­дать пре­мии со­труд­ни­кам не­ко­то­ро­го от­де­ла на общую сумму 800 000 руб­лей (раз­мер пре­мии каж­до­го со­труд­ни­ка  — целое число, крат­ное 1000). Бух­гал­те­ру дают рас­пре­де­ле­ние пре­мий, и он дол­жен их вы­дать без сдачи и раз­ме­на, имея 250 купюр по 1000 руб­лей и 110 купюр по 5000 руб­лей.

а)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если в от­де­ле 40 со­труд­ни­ков и все долж­ны по­лу­чить по­ров­ну?

б)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если ве­ду­ще­му спе­ци­а­ли­сту надо вы­дать 80 000 руб­лей, а осталь­ное по­де­лить по­ров­ну на 80 со­труд­ни­ков?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве со­труд­ни­ков в от­де­ле за­да­ние удаст­ся вы­пол­нить при любом рас­пре­де­ле­нии раз­ме­ров пре­мий?

В не­сколь­ких оди­на­ко­вых боч­ках на­ли­то не­ко­то­рое ко­ли­че­ство лит­ров воды (не­обя­за­тель­но оди­на­ко­вое). За один раз можно пе­ре­лить любое ко­ли­че­ство воды из одной бочки в дру­гую.

а)  Пусть есть че­ты­ре бочки, в ко­то­рых 29, 32, 40, 91 лит­ров. Можно ли не более чем за че­ты­ре пе­ре­ли­ва­ния урав­нять ко­ли­че­ство воды в боч­ках?

б)  Пусть есть семь бочек. Все­гда ли можно урав­нять ко­ли­че­ство воды во всех боч­ках не более чем за пять пе­ре­ли­ва­ний?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пе­ре­ли­ва­ний можно за­ве­до­мо урав­нять ко­ли­че­ство воды в 26 боч­ках?

Вася пе­ре­мно­жил не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел из от­рез­ка [23; 84]. Петя уве­ли­чил каж­дое из Ва­си­ных чисел на 1 и пе­ре­мно­жил все по­лу­чен­ные числа.

а)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно вдвое боль­ше Ва­си­но­го?

б)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно в 6 раз боль­ше Ва­си­но­го?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз Петин ре­зуль­тат может быть боль­ше Ва­си­но­го?

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что по­лу­чен­ные суммы об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  Могло ли быть 7 кучек?

б)  Могло ли быть 9 кучек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть?

В шах­ма­ты можно вы­иг­рать, про­иг­рать или сыг­рать вни­чью. Шах­ма­тист за­пи­сы­ва­ет ре­зуль­тат каж­дой сыг­ран­ной им пар­тии и после каж­дой пар­тии под­счи­ты­ва­ет три по­ка­за­те­ля: «по­бе­ды»  — про­цент побед, округлённый до це­ло­го, «ничьи»  — про­цент ни­чьих, округлённый до це­ло­го, и «по­ра­же­ния», рав­ные раз­но­сти 100 и суммы по­ка­за­те­лей «побед» и «ни­чьих». (На­при­мер, число 13,2 округ­ля­ет­ся до 13, число 14,5 округ­ля­ет­ся до 15, число 16,8 округ­ля­ет­ся до 17).

а)  Может ли в какой-⁠то мо­мент по­ка­за­тель «побед» рав­нять­ся 17, если было сыг­ра­но менее 50 пар­тий?

б)  Может ли после вы­иг­ран­ной пар­тии уве­ли­чить­ся по­ка­за­тель «по­ра­же­ний»?

в)  Одна из пар­тий была про­иг­ра­на. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве сыг­ран­ных пар­тий по­ка­за­тель «по­ра­же­ний» может быть рав­ным 1?

В роте два взво­да, в пер­вом взво­де сол­дат мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше, чем 46, а вме­сте сол­дат мень­ше, чем 111. Ко­ман­дир знает, что роту можно по­стро­ить по не­сколь­ко че­ло­век в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­дат, боль­ше 8, и при этом ни в каком ряду не будет сол­дат из двух раз­ных взво­дов.

а)  Сколь­ко сол­дат в пер­вом взво­де и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те хотя бы один при­мер.

б)  Можно ли по­стро­ить роту ука­зан­ным спо­со­бом по 13 сол­дат в одном ряду?

в)  Сколь­ко в роте может быть сол­дат?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 17 руб­лей, синий  — 13 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять.

а)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 32 ка­ран­да­ша?

б)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 35 ка­ран­да­шей?

в)  Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли зна­че­ние S быть рав­ным 5?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние могло при­ни­мать S, если обе кон­троль­ные ра­бо­ты пи­са­ли 10 сту­ден­тов?

Маша и На­та­ша де­ла­ют фо­то­гра­фии. Каж­дый день каж­дая де­воч­ка де­ла­ет на одну фо­то­гра­фию боль­ше, чем в преды­ду­щий день. В конце На­та­ша сде­ла­ла на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

а)  Могло ли это про­изой­ти за 7 дней?

б)  Могло ли это про­изой­ти за 8 дней?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий могла сде­лать На­та­ша, если Маша в по­след­ний день сде­ла­ла мень­ше 40 фо­то­гра­фий?

Шесть экс­пер­тов оце­ни­ва­ли фильм. Каж­дый из них вы­ста­вил оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Ста­рый рей­тинг филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. Новый рей­тинг филь­ма вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское четырёх остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся ?

б)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся ?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ста­ро­го и но­во­го рей­тин­гов.

Во­семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ли фильм. Каж­дый из них вы­ста­вил оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 12 вклю­чи­тель­но. Все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Ста­рый рей­тинг филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. Новый рей­тинг филь­ма вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся ?

б)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, рав­нять­ся ?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ста­ро­го и но­во­го рей­тин­гов.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 165. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 4 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5 раз боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

Маша и На­та­ша де­ла­ли фо­то­гра­фии в те­че­ние не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства под­ряд иду­щих дней. В пер­вый день Маша сде­ла­ла m фо­то­гра­фий, а На­та­ша  — n фо­то­гра­фий. В каж­дый сле­ду­ю­щий день каж­дая из де­во­чек де­ла­ла на одну фо­то­гра­фию боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что На­та­ша за все время сде­ла­ла сум­мар­но на 1615 фо­то­гра­фий боль­ше, чем Маша, и что фо­то­гра­фи­ро­ва­ли они боль­ше од­но­го дня.

а)  Могли ли они фо­то­гра­фи­ро­вать в те­че­ние 5 дней?

б)  Могли ли они фо­то­гра­фи­ро­вать в те­че­ние 6 дней?

в)  Какое наи­боль­шее сум­мар­ное ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий могла сде­лать На­та­ша за все дни фо­то­гра­фи­ро­ва­ния, если из­вест­но, что в по­след­ний день Маша сде­ла­ла мень­ше 30 фо­то­гра­фий?

У Вовы есть набор из n гру­зи­ков по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных масс в грам­мах и ча­шеч­ные весы, ко­то­рые на­хо­дят­ся в рав­но­ве­сии, если на каж­дой из двух их чаш лежат гру­зи­ки с оди­на­ко­вы­ми сум­мар­ны­ми мас­са­ми. Из­вест­но, что, какие бы два из них ни по­ло­жи­ли на одну чашу весов, все­гда можно по­ло­жить на дру­гую чашу один или не­сколь­ко из остав­ших­ся гру­зи­ков так, что весы урав­но­ве­сят­ся.

а)  Может ли у Вовы быть ровно 6 гру­зи­ков, среди ко­то­рых есть гру­зик мас­сой 5 г?

б)  Может ли у Вовы быть ровно 5 гру­зи­ков?

в)  Из­вест­но, что среди гру­зи­ков Вовы есть гру­зик мас­сой 1 г. Какую наи­мень­шую массу может иметь самый тяжёлый гру­зик Вовы?

Склад пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с це­лы­ми сто­ро­на­ми, кон­тей­не­ры  — пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды с раз­ме­ра­ми 1×1×3 м. Кон­тей­не­ры на скла­де можно класть как угод­но, но па­рал­лель­но гра­ни­цам скла­да.

а)  Может ли ока­зать­ся, что пол­но­стью за­пол­нить склад раз­ме­ром 120 ку­бо­мет­ров нель­зя?

б)  Может ли ока­зать­ся, что на склад объ­е­мом 100 ку­бо­мет­ров не удаст­ся по­ме­стить 33 кон­тей­не­ра?

в)  Пусть объем скла­да равен 800 ку­бо­мет­ров. Какой про­цент объ­е­ма та­ко­го скла­да удаст­ся га­ран­ти­ро­ва­но за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми при любой кон­фи­гу­ра­ции скла­да?

Агата до­би­ра­лась от дома до ин­сти­ту­та на своем ав­то­мо­би­ле с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 100 км/⁠ч. Об­рат­но она ехала с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, ко­то­рая из­ме­ря­лась целым чис­лом ки­ло­мет­ров в час, при­чем путь до дома занял у нее боль­ше вре­ме­ни, чем путь до ин­сти­ту­та.

а)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки со­ста­вить 90 км/⁠ч?

б)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки ока­зать­ся рав­ной це­ло­му числу ки­ло­мет­ров в час?

в)  Какое наи­мень­шее целое число ки­ло­мет­ров в час могла со­став­лять ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки?

В ящике лежат 73 овоща, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей , масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 988 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 11 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 68 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. В ящике есть хотя бы два овоща раз­лич­ной массы, а сред­няя масса всех ово­щей равна 1000 г. Сред­няя масса ово­щей , масса каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 1000 г, равна 944 г. Сред­няя масса ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 1000 г, равна 1016 г.

а)  Могло ли в ящике ока­зать­ся по­ров­ну ово­щей мас­сой мень­ше 1000 г и ово­щей мас­сой боль­ше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике ока­зать­ся ровно 15 ово­щей, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 1000 г?

в)  Какую наи­мень­шую массу может иметь овощ в этом ящике?

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дые из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство чисел мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 8. Может ли n быть боль­ше 7?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4,5?

в)  Из­вест­но, что Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­пи­са­но за все эти дни?

а)  Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n² + 2n окан­чи­ва­ет­ся всеми циф­ра­ми числа n, за­пи­сан­ны­ми в том же по­ряд­ке.

б)  Может ли такое число окан­чи­вать­ся циф­рой 3?

в)  Най­ди­те все такие четырёхзнач­ные числа

Петя иг­ра­ет сол­да­ти­ка­ми из двух раз­ных на­бо­ров. В пер­вом на­бо­ре сол­да­ти­ков мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше чем А всего сол­да­ти­ков у Пети мень­ше Петя знает, что может по­стро­ить ко­лон­ну по не­сколь­ко сол­да­ти­ков в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­да­ти­ков, боль­шее и при этом ни в каком ряду не будет сол­да­ти­ков из раз­ных на­бо­ров.

а)  Сколь­ко сол­да­ти­ков может быть в пер­вом на­бо­ре и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те один при­мер.

б)  Может ли Петя по­стро­ить ко­лон­ну ука­зан­ным спо­со­бом по сол­да­ти­ков в ряд?

в)  Сколь­ко всего сол­да­ти­ков может быть у Пети? Ука­жи­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 или 10 руб­лей. Аня сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка.

а)  Могли ли все её по­куп­ки со­сто­ять из блок­но­та за 56 руб­лей и ручки за 29 руб­лей, если n  =  14?

б)  Могли ли все её по­куп­ки со­сто­ять из чашки чая за 10 руб­лей, сырка за 15 руб­лей и пи­рож­ка за 20 руб­лей, если n  =  19?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Аня ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 85 руб­лей и n  =  24?

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 3, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 6. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни?

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы 2 маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва одну тре­тью или одну чет­вер­тую своих кон­фет. После этого у любых двух маль­чи­ков стало раз­ное ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — оди­на­ко­вое. Из­вест­но, что каж­дый отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Воз­мож­но ли, чтобы маль­чи­ков было столь­ко же, сколь­ко и де­во­чек?

б)  Могло ли быть ровно 4 маль­чи­ка?

в)  Могло ли быть ровно 10 маль­чи­ков?

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы два маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва чет­верть своих кон­фет. После этого у любых двух де­во­чек ока­за­лось оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух маль­чи­ков  — раз­ное. Из­вест­но, что каж­дый из детей отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Может ли маль­чи­ков быть ровно столь­ко же, сколь­ко де­во­чек?

б)  Может ли маль­чи­ков быть боль­ше, чем де­во­чек?

в)  Пусть де­во­чек вдвое боль­ше, чем маль­чи­ков. Может ли у всех детей сум­мар­но быть 328 кон­фет?

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня плат­ной се­те­вой игры можно по­лу­чить от одной до трех звезд. При этом со счета участ­ни­ка игры спи­сы­ва­ет­ся 75 руб­лей при по­лу­че­нии одной звез­ды, 60 руб­лей  — при по­лу­че­нии двух звезд и 45 руб­лей при по­лу­че­нии трех звезд. Миша про­шел не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Могла ли сумма на его счете умень­шить­ся при этом на 330 руб­лей?

б)  Сколь­ко уров­ней игры про­шел Миша, если сумма на его счете умень­ши­лась на 435 руб­лей, а число по­лу­чен­ных им звезд равно 13?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 5000 очков при по­лу­че­нии трех звезд, 3000  — при по­лу­че­нии двух звезд и 2000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) мог по­тра­тить на игру Миша, если он на­брал 50 000 очков, по­лу­чив при этом 32 звез­ды?

Груп­па школь­ни­ков от­пра­ви­лась в поход. Каж­дый из груп­пы взял либо удоч­ку, либо кор­зин­ку, при этом воз­мож­но, что кто‐то мог взять и удоч­ку, и кор­зин­ку. Из­вест­но, что де­во­чек, взяв­ших удоч­ки, не более от об­ще­го числа школь­ни­ков, взяв­ших удоч­ку, а де­во­чек, взяв­ших кор­зин­ки, не более от об­ще­го числа школь­ни­ков, взяв­ших кор­зин­ки.

а)  Могло ли быть в груп­пе 11 де­во­чек, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего было 26 школь­ни­ков?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство де­во­чек могло быть среди школь­ни­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего было 26 школь­ни­ков?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять маль­чи­ки, если в груп­пе может быть любое число школь­ни­ков?

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — на­ту­раль­ное число руб­лей. Если цена книги мень­ше 100 руб., на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 10 руб., из-⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 110 руб., сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 81 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 226 руб. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 90 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 210 руб. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — на­ту­раль­ное число руб­лей. Если цена книги мень­ше 80 руб­лей, на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 5 руб­лей, из-⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 103 рубля, сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 67 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 157 руб­лей. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 70 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 146 руб­лей. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

На пси­хо­ло­ги­че­ский тре­нинг при­шли m че­ло­век. В на­ча­ле ра­бо­ты пси­хо­лог по­про­сил каж­до­го при­шед­ше­го на­пи­сать за­пис­ку с во­про­сом к лю­бо­му од­но­му из дру­гих участ­ни­ков. После этого в груп­пу А были ото­бра­ны те, кто по­лу­чил не более 1 во­про­са.

а)  Какое наи­боль­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  100?

б)  Какое наи­мень­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  144?

в)  Какое наи­мень­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  97, а в груп­пу А вошли те, кто не по­лу­чил ни од­но­го во­про­са, и по­ло­ви­на тех, кто по­лу­чил ровно один во­прос? (Если ровно один во­прос по­лу­чи­ло не­чет­ное число че­ло­век, то бе­рет­ся наи­боль­шее число, не пре­вос­хо­дя­щее по­ло­ви­ну.)

В ре­зуль­та­те опро­са вы­яс­ни­лось, что при­мер­но 45% опро­шен­ных пред­по­чи­та­ют кофе чаю (число  45 по­лу­че­но с по­мо­щью округ­ле­ния до бли­жай­ше­го це­ло­го числа).

а)  Могло ли участ­во­вать в опро­се ровно 24 че­ло­ве­ка?

б)  Могло ли участ­во­вать в опро­се менее 24 че­ло­век?

в)  Какое наи­мень­шее число че­ло­век могло участ­во­вать в опро­се?

На сайте вы­ло­же­но k ви­део­уро­ков по ма­те­ма­ти­ке про­дол­жи­тель­но­стью ровно 1 мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Вик­тор хочет за не­сколь­ко дней по­смот­реть их все ровно по од­но­му разу, за­тра­чи­вая на это ровно пол­ча­са каж­дый день. (Смот­реть ви­део­уро­ки можно в любом по­ряд­ке, но обя­за­тель­но пол­но­стью).

а)  Воз­мож­но ли это при k  =  15?

б)  Воз­мож­но ли это при k  =  10?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные k, при ко­то­рых это воз­мож­но.

На длин­ной ла­воч­ке сидят в ряд 50 че­ло­век, из них ровно 44 Вла­ди­ми­ра. Каж­дый за­га­ды­ва­ет же­ла­ние, но сбы­ва­ет­ся оно толь­ко у тех, кто сидит между двумя Вла­ди­ми­ра­ми.

а)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство же­ла­ний может ис­пол­нить­ся?

б)  Может ли ис­пол­нить­ся ровно 38 же­ла­ний?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство же­ла­ний может ис­пол­нить­ся?

В те­че­ние k дней Оля каж­дый день вы­пи­сы­ва­ла в тет­радь на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 21. При этом каж­дый день, на­чи­ная со вто­ро­го, сумма вы­пи­сан­ных за день чисел была мень­ше, чем в преды­ду­щий день, а ко­ли­че­ство чисел  — хотя бы на 3 боль­ше.

а)  Может ли k рав­нять­ся 8?

б)  Может ли k рав­нять­ся 154, если сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не боль­ше 600?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, вы­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 300. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех вы­пи­сан­ных за k дней чисел?

Петя участ­во­вал в вик­то­ри­не по ис­то­рии. За каж­дый пра­виль­ный ответ участ­ни­ку на­чис­ля­ет­ся 8 бал­лов, за каж­дый не­вер­ный  — спи­сы­ва­ют­ся 8 бал­лов, за от­сут­ствие от­ве­та спи­сы­ва­ет­ся 3 балла. По ре­зуль­та­там вик­то­ри­ны Петя на­брал 35 бал­лов.

а)  На сколь­ко во­про­сов Петя не дал от­ве­та, если в вик­то­ри­не было 30 во­про­сов?

б)  На сколь­ко во­про­сов Петя не дал от­ве­та, если в вик­то­ри­не было 35 во­про­сов?

в)  На сколь­ко во­про­сов Петя от­ве­тил пра­виль­но, если в вик­то­ри­не было 33 во­про­са?

У Миши в ко­пил­ке есть двух­рублёвые, пя­ти­рублёвые и де­ся­ти­рублёвые мо­не­ты. Если взять 10 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна двух­рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обя­за­тель­но найдётся хотя бы одна пя­ти­рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна де­ся­ти­рублёвая.

а)  Может ли у Миши быть 30 монет?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может быть у Миши?

в)  Какая наи­боль­шая сумма руб­лей может быть у Миши?

Груп­пу детей можно пе­ре­вез­ти ав­то­бу­са­ми мо­де­ли А или ав­то­бу­са­ми мо­де­ли Б. Из­вест­но, что в ав­то­бу­се мо­де­ли А ко­ли­че­ство мест боль­ше 30, но мень­ше 40, а в ав­то­бу­сах мо­де­ли Б  — боль­ше 40, но мень­ше 50. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли А, то все места будут за­ня­ты. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли Б, то все места так же будут за­ня­ты, но по­тре­бу­ет­ся на один ав­то­бус мень­ше.

а)  Может ли по­тре­бо­вать­ся 5 ав­то­бу­сов мо­де­ли А?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство детей в груп­пе, если из­вест­но, что их боль­ше 150.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство детей в груп­пе.

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — на­ту­раль­ное число руб­лей. Если цена книги мень­ше 100 руб­лей, на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 10 руб­лей, из-⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 110 руб­лей, сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 81 рубль, а сред­няя цена книг без бирки  — 226 руб­лей. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 90 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 210 руб­лей. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 и 10 руб­лей. Аня сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка.

а)  Могли ли все её по­куп­ки со­сто­ять из блок­но­та за 56 руб­лей и ручки за 29 руб­лей, если n  =  14?

б)  Могли ли её по­куп­ки со­сто­ять из чашки чая за 10 руб­лей, сырка за 15 руб­лей и пи­рож­ка за 20 руб­лей, если n  =  19?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Аня ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 85 руб­лей и n  =  24?

На три­бу­не ста­ди­о­на ровно 2020 бо­лель­щи­ков. Каж­дый из этих бо­лель­щи­ков плес­нул водой ровно в од­но­го дру­го­го бо­лель­щи­ка.

а)   Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не ровно 672 бо­лель­щи­ка таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 672 бо­лель­щи­ков водой?

б)  Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не ровно 676 бо­лель­щи­ков таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 676 бо­лель­щи­ков водой?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бо­лель­щи­ков можно га­ран­ти­ро­ван­но найти на этой три­бу­не таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этой груп­пы бо­лель­щи­ков водой?

У Бори нет ис­точ­ни­ка воды, но есть три ведра раз­лич­ных объ­е­мов, в двух из ко­то­рых есть вода. За один шаг Боря пе­ре­ли­ва­ет воду из ведра, в ко­то­ром она есть, в дру­гое ведро. Пе­ре­ли­ва­ние за­кан­чи­ва­ет­ся в тот мо­мент, когда или пер­вое ведро опу­сте­ет, или вто­рое ведро за­пол­нит­ся. Вы­ли­вать воду из ведер за­пре­ща­ет­ся.

а)  Мог ли Боря через не­сколь­ко шагов по­лу­чить в одном из ведер ровно 2 литра воды, если сна­ча­ла у него были ведра объ­е­мом 4 литра и 7 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом 8 лит­ров?

б)   Мог ли Боря через не­сколь­ко шагов по­лу­чить рав­ные объ­е­мы воды во всех вед­рах, если сна­ча­ла у него были ведра объ­е­ма­ми 5 лит­ров и 7 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом 10 лит­ров?

в)  Сна­ча­ла у Бори были ведра объ­е­ма­ми 3 литра и 6 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом n лит­ров. Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может при­ни­мать n, если из­вест­но, что Боря смо­жет по­лу­чить через не­сколь­ко шагов ровно 4 л воды в одном из вёдер?

Участ­ни­ки кон­кур­са на луч­шую ма­те­ма­ти­че­скую за­да­чу ано­ним­но при­сы­ла­ют каж­дый свою за­да­чу. После пуб­ли­ка­ции все участ­ни­ки дают оцен­ку каж­дой за­да­че, кроме своей. В кон­кур­се при­ни­ма­ют уча­стие 6 че­ло­век. Каж­дый участ­ник за луч­шую по его мне­нию за­да­чу дает 5 бал­лов, за сле­ду­ю­щую  — 4 балла и так далее, за пятую  — 1 балл. По каж­дой за­да­че баллы сум­ми­ру­ют­ся, так опре­де­ля­ет­ся рей­тинг за­да­чи.

а)  Могут ли все рей­тин­ги быть про­сты­ми чис­ла­ми?

б)   Могла ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших рей­тин­гов быть в три раза боль­ше суммы осталь­ных?

в)  Ка­ко­ва ми­ни­маль­ная сумма тре­тье­го и чет­вер­то­го рей­тин­гов, если им дали но­ме­ра в по­ряд­ке не­воз­рас­та­ния?

В дет­ском оздо­ро­ви­тель­ном ла­ге­ре про­хо­дил празд­ник Неп­ту­на, в ко­то­ром участ­во­ва­ло ровно 2019 детей. Каж­дый из этих 2019 участ­ни­ков плес­нул водой ровно в од­но­го дру­го­го участ­ни­ка.

а)  Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти 670 участ­ни­ков таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 670 участ­ни­ков?

б)  Можно ли га­ран­ти­ро­ван­но найти 675 участ­ни­ков таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этих 675 участ­ни­ков?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство участ­ни­ков можно га­ран­ти­ро­ван­но найти на этом празд­ни­ке таких, что никто из них не об­ли­вал дру­го­го из этой груп­пы участ­ни­ков?

Ги­пер­мар­кет, ре­а­ли­зу­ю­щий но­во­год­ние то­ва­ры, со­сто­ит их трех от­де­лов. В пер­вом от­де­ле пред­став­ле­ны но­во­год­ние то­ва­ры, цена каж­до­го из ко­то­рых мень­ше 100 руб. Сред­няя цена то­ва­ров в этом от­де­ле равна 90 руб. Во вто­ром от­де­ле пред­став­ле­ны но­во­год­ние то­ва­ры, цена каж­до­го из ко­то­рых боль­ше 100 руб. Сред­няя цена то­ва­ров в этом от­де­ле равна 120 руб. Цена каж­до­го то­ва­ра в тре­тьем от­де­ле равна 100 руб. Сред­няя цена всех то­ва­ров в ги­пер­мар­ке­те равна 110 руб., а общее число то­ва­ров равно 200. Все цены вы­ра­жа­ют­ся целым чис­лом руб­лей.

а)  Может ли в пер­вом от­де­ле быть столь­ко же то­ва­ров, сколь­ко и во вто­ром?

б)  Может ли в тре­тьем от­де­ле быть на 14 то­ва­ров боль­ше чем во вто­ром?

в)   Чему может рав­нять­ся наи­боль­шая воз­мож­ная при этих усло­ви­ях цена то­ва­ра в этом ги­пер­мар­ке­те?

Трид­цать пять ша­ри­ков мас­сой 1 г, 2 г, ..., 35 г раз­ло­жи­ли по двум ко­роб­кам, в каж­дой ко­роб­ке на­хо­дит­ся хотя бы один шарик. Масса каж­до­го ша­ри­ка вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. Затем из вто­рой ко­роб­ки пе­ре­ло­жи­ли в первую один шарик. После этого сред­няя масса ша­ри­ков в пер­вой ко­роб­ке уве­ли­чи­лась на 4 г.

а)  Могло ли такое быть, если пер­во­на­чаль­но в пер­вой ко­роб­ке ле­жа­ли толь­ко ша­ри­ки мас­сой 3 г, 12 г и 27 г?

б)  Могла ли сред­няя масса ша­ри­ков в пер­вой ко­роб­ке пер­во­на­чаль­но рав­нять­ся 12,6 г?

в)  Какое наи­боль­шее число ша­ри­ков могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой ко­роб­ке?

У Вани есть не­сколь­ко па­ке­тов с ве­ща­ми, каж­дый из ко­то­рых весит целое число ки­ло­грам­мов. Он хочет раз­ло­жить все эти па­ке­ты, не пе­ре­кла­ды­вая их со­дер­жи­мое, по n име­ю­щим­ся у него оди­на­ко­вым рюк­за­кам. В каж­дый рюк­зак можно по­ло­жить любое число па­ке­тов, сум­мар­ная масса ко­то­рых не пре­вос­хо­дит m ки­ло­грам­мов.

а)  Смо­жет ли Ваня раз­ло­жить таким об­ра­зом семь па­ке­тов, ко­то­рые весят 3, 6, 9, 12, 15, 18 и 21 кг, если n  =  3 и m  =  29?

б)  Смо­жет ли Ваня раз­ло­жить таким об­ра­зом семь па­ке­тов, ко­то­рые весят 2, 5, 8, 11, 14, 17 и 20 кг, если n  =  3 и m  =  26?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать m, чтобы Ваня при n  =  4 смог раз­ло­жить таким об­ра­зом де­вять па­ке­тов, ко­то­рые весят 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и 19 кг?

Есть че­ты­ре ко­роб­ки: в пер­вой ко­роб­ке 101 ка­мень, во вто­рой  — 102, в тре­тьей  — 103, а в четвёртой ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых трёх ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Могло ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 97 кам­ней, во вто­рой  — 102, в тре­тьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой ко­роб­ке ока­зать­ся 306 кам­ней?

в)  Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в пер­вой ко­роб­ке?

Име­ют­ся три ко­роб­ки: в пер­вой  — 97 кам­ней, во вто­рой  — 104 камня, в тре­тьей ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых двух ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Может ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 97 кам­ней, во вто­рой  — 89, в тре­тьей  — 15?

б)  Может ли в тре­тьей ко­роб­ке ока­зать­ся 201 ка­мень?

в)  Из­вест­но, что в пер­вой ко­роб­ке ока­зал­ся 1 ка­мень. Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в тре­тьей ко­роб­ке?

У юве­ли­ра есть 47 по­лу­дра­го­цен­ных кам­ней, масса каж­до­го из ко­то­рых  — целое число грам­мов, не мень­шее 100 (не­ко­то­рые камни могут иметь рав­ную массу). Эти камни рас­пре­де­ли­ли по трем кучам: в пер­вой куче n₁ кам­ней, во вто­рой  — n₂ кам­ней, в тре­тьей  — n₃ кам­ней, при­чем n₁ < n₂ < n₃. Сум­мар­ная масса (в грам­мах) кам­ней в пер­вой куче равна S₁, во вто­рой  — S₂, а в тре­тьей  — S₃.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃, если масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит 105 грам­мов?

в)  Из­вест­но, что масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит k грам­мов. Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние k, для ко­то­ро­го может вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃.

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — целое число руб­лей. Если цена книги мень­ше 100 руб., на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 10 руб., из‐⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 110 руб., сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 81 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 226 руб. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 90 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 210 руб. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

В школь­ном живом угол­ке че­ты­ре уче­ни­ка кор­мят кро­ли­ков. Каж­дый уче­ник на­сы­па­ет не­сколь­ким кро­ли­кам (хотя бы од­но­му, но не всем) пор­цию корма. При этом пер­вый уче­ник даёт пор­ции по 100 г, вто­рой  — по 200 г, тре­тий по 300 г, четвёртый  — по 400 г, а какие-то кро­ли­ки могут остать­ся без корма.

а)  Может ли ока­зать­ся, что кро­ли­ков было 15 и все они по­лу­чи­ли оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство корма?

б)  Может ли ока­зать­ся, что кро­ли­ков было 15 и все кро­ли­ки по­лу­чи­ли раз­ное ко­ли­че­ство корма?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кро­ли­ков могло быть в живом угол­ке, если из­вест­но, что каж­дый уче­ник за­сы­пал корм ровно четырём кро­ли­кам и все кро­ли­ки по­лу­чи­ли раз­ное ко­ли­че­ство корма?

На ост­ро­ве живут 3 серых, 28 бурых и 29 ма­ли­но­вых ха­ме­лео­нов. При встре­че двух ха­ме­лео­нов раз­ных цве­тов оба ме­ня­ют свой цвет на тре­тий (серый и бурый оба ста­но­вят­ся ма­ли­но­вы­ми и т. п.).

а)  Может ли в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни на ост­ро­ве ока­зать­ся 15 серых, 28 бурых и 17 ма­ли­но­вых ха­ме­лео­нов?

б)  Может ли не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни на ост­ро­ве ока­зать­ся 60 серых ха­ме­лео­нов?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство серых ха­ме­лео­нов может ока­зать­ся на ост­ро­ве, при усло­вии, что ма­ли­но­вых ха­ме­лео­нов в этот мо­мент вре­ме­ни ровно 2?

В ре­зи­ден­ции Деда Мо­ро­за ра­бо­та­ет не менее 60 и не более 80 гно­ми­ков. Дед Мороз про­во­дит со­бра­ние. К на­ча­лу со­бра­ния при­шло мень­ше по­ло­ви­ны гно­ми­ков (а воз­мож­но, что и никто не при­шел). Спу­стя 10 минут после объ­яв­лен­но­го на­ча­ла на со­бра­ние при­шел еще один гно­мик.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что после этого на со­бра­нии при­сут­ство­ва­ло боль­ше по­ло­ви­ны гно­ми­ков?

б)  Воз­мож­но ли, что и до и после при­хо­да опоз­дав­ше­го гно­ми­ка про­цент гно­ми­ков на со­бра­нии вы­ра­жал­ся целым чис­лом?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние мог при­нять про­цент так и не при­шед­ших на со­бра­ние гно­ми­ков?

Егор делит ли­ней­ку на части. За одно дей­ствие он может от­ре­зать от лю­бо­го ко­ли­че­ства ли­не­ек рав­ные части, име­ю­щие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ходов Егор может раз­де­лить ли­ней­ку дли­ной в 300 см на части по 1 см?

У Пети есть мо­не­ты но­ми­на­лом 1, 2, 5 и 10 руб­лей. Каж­до­го вида монет у него по 100 штук. Цена пи­рож­но­го в руб­лях вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Петя хочет ку­пить пи­рож­ное без сдачи, но до по­куп­ки не знает сколь­ко оно стоит.

а)  Может ли Петя вы­брать дома 16 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 100  руб­лей?

б)  Может ли Петя вы­брать дома 5 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 25  руб­лей?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет нужно взять Пете, если из­вест­но, что пи­рож­ное стоит не более 100  руб­лей?

В клас­се боль­ше 10, но не боль­ше 26 уча­щих­ся, а доля де­во­чек не пре­вы­ша­ет 21%.

а)  Может ли в этом клас­се быть 5 де­во­чек?

б)  Может ли доля де­во­чек со­ста­вить 30%, если в этот класс придёт новая де­воч­ка?

в)  В этот класс при­ш­ла новая де­воч­ка. Доля де­во­чек в клас­се со­ста­ви­ла целое число про­цен­тов. Какое наи­боль­шее число про­цен­тов может со­ста­вить доля де­во­чек в клас­се?

Есть кон­тей­не­ры мас­сой 7 тонн и мас­сой 2 тонны и ко­раб­ли гру­зо­подъ­ем­но­стью 10 тонн.

а)  Можно ли увез­ти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 22 кон­тей­не­ра мас­сой 2 тонны на 14 ко­раб­лях?

б)  Можно ли увез­ти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 17 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны на 12 ко­раб­лях?

в)  На каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве ко­раб­лей можно уве­сти за один раз 11 кон­тей­не­ров мас­сой 7 тонн и 77 кон­тей­не­ров мас­сой 2 тонны?

На ово­ще­ба­зу за­вез­ли ка­пу­сту. Каж­дый из ко­ча­нов ка­пу­сты весит 1, 2 или 3 ки­ло­грам­ма.Фер­мер Иван по­ехал на ово­ще­ба­зу за ка­пу­стой. Его сосед Фёдор по­про­сил ку­пить для него столь­ко же ка­пу­сты (по массе). На ово­ще­ба­зе Ивану со­ста­ви­ла набор ко­ча­нов ка­пу­сты, сум­мар­ная масса ко­то­рых со­ста­ви­ла N кг. Нужно раз­де­лить эти ко­ча­ны по­ров­ну (по массе) между Ива­ном и Фе­до­ром так, чтобы не при­ш­лось ре­зать ко­ча­ны.

а)  Су­ще­ству­ет ли набор ко­ча­нов сум­мар­ной мас­сой N  =  20, ко­то­рый не­воз­мож­но раз­де­лить по­ров­ну?

б)  Су­ще­ству­ет ли набор ко­ча­нов сум­мар­ной мас­сой N  =  24, ко­то­рый не­воз­мож­но раз­де­лить по­ров­ну?

в)  Най­ди­те все зна­че­ния N, для ко­то­рых любой набор ко­ча­нов сум­мар­ной массы N можно раз­де­лить по­ров­ну.

На он­лайн-кур­сах ан­глий­ско­го языка ис­поль­зу­ет­ся одна из схем уско­рен­но­го за­по­ми­на­ния ино­стран­ных слов.

Пред­ла­га­ет­ся раз­де­лить про­грам­му обу­че­ния на n уро­ков про­дол­жи­тель­но­стью 1, 2, 3, ..., n минут. Пре­по­да­ва­тель кур­сов уве­ря­ет, что за не­сколь­ко дней можно по­смот­реть все уроки по од­но­му разу, вы­де­ляя на за­ня­тие ровно 15 минут каж­дый день. Каж­дый урок не­об­хо­ди­мо смот­реть от на­ча­ла до конца в те­че­ние дня в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

а)  Воз­мож­но ли это при n  =  5?

б)  Воз­мож­но ли это при n  =  10?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные n, при ко­то­рых это воз­мож­но.

При про­ве­де­нии школь­ной ма­те­ма­ти­че­ской олим­пи­а­ды ито­го­вая сумма бал­лов со­став­ля­ет­ся из двух бал­лов за уча­стие, 13 бал­лов за каж­дую взя­тую и ре­шен­ную за­да­чу и −8 бал­лов за каж­дую взя­тую и не­ре­шен­ную за­да­чу. Каж­дую за­да­чу участ­ник вы­би­ра­ет себе са­мо­сто­я­тель­но в за­пе­ча­тан­ном кон­вер­те. Число задач, пред­ла­га­е­мых для ре­ше­ния, не­огра­ни­чен­но.

а)  У од­но­го из участ­ни­ков, ре­шив­ше­го p задач и не ре­шив­ше­го q задач, ито­го­вая сумма ока­за­лась рав­ной u бал­лов. Най­ди­те ито­го­вую сумму участ­ни­ка, ре­шив­ше­го 2p задач и не ре­шив­ше­го 2q задач.

б)  Из­вест­но, что ито­го­вая сумма у двух участ­ни­ков ока­за­лась оди­на­ко­вой. Может ли раз­ность между чис­лом всех задач, взя­тых для ре­ше­ния одним участ­ни­ком, и чис­лом задач, взя­тых для ре­ше­ния дру­гим участ­ни­ком, де­лить­ся на 21?

в)  Какое ми­ни­маль­ное число задач надо взять, чтобы ито­го­вая сумма ока­за­лась рав­ной нулю?

Вла­де­ли­ца су­пер­мар­ке­та «Но­во­год­нее сча­стье от Алев­ти­ны» ор­га­ни­зо­ва­ла рас­про­да­жу но­во­год­них су­ве­ни­ров. В те­че­ние дня по­ку­па­те­ли при­хо­ди­ли к кас­си­ру, чтобы рас­пла­тить­ся (сумма лю­бо­го пла­те­жа  — чет­ное число руб­лей). Каж­дый про­тя­ги­вал ку­пю­ру 5000 руб­лей, а кас­сир вы­да­вал сдачу, имея толь­ко 300 монет по 10 руб­лей и 500 монет по 2 рубля. По ито­гам дня все мо­не­ты ока­за­лись по­тра­чен­ны­ми на сдачи.

а)  Могло ли за день быть 250 по­ку­па­те­лей, если все они по­лу­чи­ли рав­ную сдачу?

б)  Каким могло быть наи­боль­шее число по­ку­па­те­лей, если каж­дый по­лу­чил оди­на­ко­вую сдачу?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го числа по­ку­па­те­лей кас­сир мог вы­дать на сдачу все мо­не­ты при любом рас­пре­де­ле­нии сдач, не про­ти­во­ре­ча­щим усло­вию?

В шах­мат­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ли ко­ман­ды трех школ (по одной ко­ман­де на каж­дую школу). Все ко­ман­ды имели оди­на­ко­вое число иг­ро­ков. При встре­че двух ко­манд каж­дый участ­ник ко­ман­ды сыг­рал одну пар­тию с чле­ном ко­ман­ды со­пер­ни­ков. За вы­иг­рыш пар­тии ко­ман­де при­суж­да­лось 2 очка, за ничью  — одно очко, за про­иг­рыш  — 0 очков. По­бе­ди­тель­ни­ца встре­чи двух ко­манд опре­де­ля­лась по сумме на­бран­ных очков. После про­ве­де­ния всех трех встреч на­бран­ные каж­дой ко­ман­дой очки сум­ми­ро­ва­лись, и опре­де­ля­лась ко­ман­да-по­бе­ди­тель­ни­ца тур­ни­ра.

а)  Могла ли ко­ман­да, по­бе­див­шая каж­дую ко­ман­ду со­пер­ни­ков, за­нять по­след­нее место по ито­гам тур­ни­ра?

б)  Могла ли ко­ман­да, по­бе­див­шая каж­дую ко­ман­ду со­пер­ни­ков, не стать по­бе­ди­те­лем тур­ни­ра?

в)  Пер­вая ко­ман­да, играя со вто­рой ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 3 пар­тии свела вни­чью, а играя с тре­тьей ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 2 свела вни­чью. Вто­рая ко­ман­да, играя с тре­тьей ко­ман­дой, 2 пар­тии про­иг­ра­ла и 4 свела вни­чью. Все ко­ман­ды на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство очков. Какое наи­мень­шее число иг­ро­ков могло быть в каж­дой ко­ман­де и как в этом слу­чае рас­пре­де­ли­лись места по ито­гам тур­ни­ра?

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы два маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет, при­чем у любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый из детей от­да­ет со­се­ду спра­ва чет­верть своих кон­фет, при этом каж­дый из детей от­да­ет на­ту­раль­ное число кон­фет. После этого у любых двух де­во­чек ста­но­вит­ся рав­ное число кон­фет, а у любых двух маль­чи­ков  — раз­ное.

а)  Может ли число детей быть рав­ным пяти?

б)  Какое наи­мень­шее число детей может сто­ять в круге, если сум­мар­но у них 1020 кон­фет?

в)  Какое наи­боль­шее число детей может сто­ять в круге, если сум­мар­но у них 1020 кон­фет?

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 кам­ней по 14 кг. Их раз­де­ли­ли на две кучки.

а)  Может ли раз­ность масс двух этих кучек кам­ней быть равна 6 кг?

б)  Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в)  Какая наи­мень­шая по­ло­жи­тель­ная раз­ность масс может быть у двух этих кучек кам­ней?

В порту име­ют­ся толь­ко за­пол­нен­ные кон­тей­не­ры, масса каж­до­го из ко­то­рых равна 20 тонн или 40 тонн. В не­ко­то­рых кон­тей­не­рах на­хо­дит­ся са­хар­ный песок. Ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­ля­ет 40% от об­ще­го числа кон­тей­не­ров.

а)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 50% от общей массы?

б)  Может ли масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком со­став­лять 60% от общей массы?

в)  Какую наи­мень­шую долю в про­цен­тах может со­став­лять масса кон­тей­не­ров с са­хар­ным пес­ком от общей массы?

В фут­боль­ном тур­ни­ре участ­во­ва­ло 10 ко­манд, при этом каж­дая ко­ман­да иг­ра­ла с каж­дой ровно по од­но­му разу. За по­бе­ду в одной игре ко­ман­де при­суж­да­ет­ся 3 очка, за ничью  — одно очко, за по­ра­же­ние  — 0.

а)  Ко­ман­да «Ле­ги­он», участ­во­вав­шая в этом тур­ни­ре, на­бра­ла 17 очков. Сколь­ко мат­чей она могла за­вер­шить вни­чью?

б)  Сколь­ко мат­чей всего было за­вер­ше­но вни­чью, если сумма очков, на­бран­ных всеми ко­ман­да­ми в сумме, в 60 раз боль­ше ко­ли­че­ства очков, на­бран­ных одной из ко­манд?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число ни­чьих на тур­ни­ре, если любые две ко­ман­ды, сыг­рав­шие между собой вни­чью, на­бра­ли в итоге раз­ное ко­ли­че­ство очков, при­чем най­дет­ся ко­ман­да, за­вер­шив­шая ровно 6 мат­чей вни­чью?

Центр под­го­тов­ки кос­мо­нав­тов го­то­вит эки­па­жи для ра­бо­ты на МКС в со­ста­ве че­ты­рех че­ло­век каж­дый, при­чем у любых двух эки­па­жей может быть не более од­но­го об­ще­го члена и каж­дый кос­мо­навт может участ­во­вать не более, чем в двух эки­па­жах.

а)  Можно ли при этих усло­ви­ях из 9 че­ло­век под­го­то­вить 3 эки­па­жа?

б)  Можно ли при этих усло­ви­ях из 9 че­ло­век под­го­то­вить 4 эки­па­жа?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство че­ло­век не­об­хо­ди­мо для под­го­тов­ки 10 эки­па­жей?

В спор­тив­ной сек­ции за­ни­ма­ет­ся более 20 и менее 45 школь­ни­ков. На об­ласт­ное со­рев­но­ва­ние было за­яв­ле­но более по­ло­ви­ны ребят из сек­ции, но потом ровно один из них от­ка­зал­ся участ­во­вать.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь на со­рев­но­ва­ние за­яв­ле­но менее по­ло­ви­ны школь­ни­ков из этой сек­ции?

б)  Из­вест­но, что и до, и после от­ка­за од­но­го из ребят про­цент за­яв­лен­ных на со­рев­но­ва­ние вы­ра­жал­ся целым чис­лом. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния числа за­ни­ма­ю­щих­ся в этой сек­ции.

в)  Какое наи­мень­шее целое зна­че­ние мог при­нять про­цент за­яв­лен­ных спортс­ме­нов после от­ка­за од­но­го из школь­ни­ков?

Лес­ная шах­мат­ная школа про­ве­ла шах­мат­ный тур­нир. В нём при­ни­ма­ли уча­стие Волк, Лиса и Заяц. Каж­дый из них сыг­рал с каж­дым участ­ни­ком по 10 пар­тий. За вы­иг­ран­ную пар­тию при­суж­да­лось 2 очка, за ничью 1 очко, за про­иг­рыш 0 очков. После окон­ча­ния тур­ни­ра места рас­пре­де­ля­лись по сумме очков, на­бран­ных участ­ни­ка­ми.

а)  Сколь­ко очков на­брал Волк, если у него число вы­иг­ран­ных в тур­ни­ре пар­тий рав­ня­лось числу про­иг­ран­ных?

б)  У Лисы ко­ли­че­ство вы­иг­ран­ных пар­тий боль­ше чем у Волка, а у Волка боль­ше чем у Зайца. Может ли Заяц за­нять пер­вое место, Волк  — вто­рое, а Лиса  — тре­тье?

в)  Лиса за­ня­ла в тур­ни­ре вто­рое место, хотя при игре с каж­дым из со­пер­ни­ков по­беж­да­ла чаще, чем про­иг­ры­ва­ла. Тогда она по­тре­бо­ва­ла из­ме­нить по­ря­док под­ве­де­ния ито­гов: рас­пре­де­лять места по раз­но­сти ко­ли­че­ства вы­иг­ран­ных и про­иг­ран­ных пар­тий. Смо­жет ли она после этого за­нять пер­вое место?

г)  Может ли быть по ито­гам тур­ни­ра у каж­до­го участ­ни­ка ко­ли­че­ство вы­иг­ран­ных пар­тий боль­ше, чем ко­ли­че­ство про­иг­ран­ных?

В парке n ат­трак­ци­о­нов. В вос­кре­се­нье парк по­се­ти­ло ровно n детей. Сто­и­мость по­се­ще­ния каж­до­го ат­трак­ци­о­на со­став­ля­ет 10 руб­лей. Каж­дый ре­бе­нок по­тра­тил или 30, или 160 руб­лей, при­чем не все дети по­тра­ти­ли по­ров­ну денег (один ат­трак­ци­он можно по­се­тить много раз).

а)  Могла ли вы­руч­ка каж­до­го ат­трак­ци­о­на со­ста­вить ровно 60 руб­лей?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство детей могло быть, если из­вест­но, что все ат­трак­ци­о­ны по­лу­чи­ли оди­на­ко­вую вы­руч­ку?

в)  Пусть любые два ат­трак­ци­о­на имеют раз­ную вы­руч­ку (воз­мож­но, ну­ле­вую). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­се­тив­ших парк детей?

В ав­то­хо­зяй­стве име­ют­ся гру­зо­ви­ки трех типов. Каж­дый гру­зо­вик пер­во­го типа имеет гру­зо­подъ­ем­ность 3 тонны и сде­лал 3 рейса, каж­дый гру­зо­вик вто­ро­го типа имеет гру­зо­подъ­ем­ность 13 тонн и сде­лал 12 рей­сов, каж­дый гру­зо­вик тре­тье­го типа имеет гру­зо­подъ­ем­ность 17 тонн и сде­лал 16 рей­сов. Всего было сде­ла­но ровно 95 рей­сов.

а)  Могло ли в ав­то­хо­зяй­стве быть 2 гру­зо­ви­ка тре­тье­го типа?

б)  Могло ли в ав­то­хо­зяй­стве быть 4 гру­зо­ви­ка тре­тье­го типа?

в)  Сколь­ко тонн груза мак­си­маль­но могло пе­ре­ве­сти ав­то­хо­зяй­ство при дан­ных усло­ви­ях?

В Три­де­вя­том цар­стве в об­ра­ще­нии на­хо­дят­ся мо­не­ты трех видов: брон­зо­вые рубли, се­реб­ря­ные мо­не­ты до­сто­ин­ством 9 руб­лей и зо­ло­тые мо­не­ты до­сто­ин­ством 81 рубль. В казне на­хо­дит­ся не­огра­ни­чен­ный запас монет каж­до­го вида.

а)  Каким наи­мень­шим ко­ли­че­ством монет может быть выдан вклад в 2021 рубль?

б)  Можно ли вы­дать вклад в 1955 руб­лей 25 мо­не­та­ми?

в)  Из казны, в ко­то­рой со­дер­жит­ся не­огра­ни­чен­ный запас монет каж­до­го вида, 23 мо­не­та­ми вы­да­на не­ко­то­рая сумма, мень­шая 700 руб­лей. Най­ди­те эту сумму, если из­вест­но, что мень­шим чис­лом монет вы­дать ее не­воз­мож­но.