а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AC равна а бо­ко­вое ребро равно На ребре AC от­ме­че­на точка E так, что Точки F, N  — се­ре­ди­ны сто­рон A₁B₁ и B₁C₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой AB и со­дер­жит точки E и N.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая CF пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки F до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В двух об­ла­стях есть по 50 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся на 2 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не B пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не C в точке M, а бис­сек­три­са внут­рен­не­го угла при вер­ши­не C пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су внеш­не­го угла при вер­ши­не B в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BM, если AB  =  AC  =  5, BC  =  6.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не более трех ре­ше­ний.

У Бори нет ис­точ­ни­ка воды, но есть три ведра раз­лич­ных объ­е­мов, в двух из ко­то­рых есть вода. За один шаг Боря пе­ре­ли­ва­ет воду из ведра, в ко­то­ром она есть, в дру­гое ведро. Пе­ре­ли­ва­ние за­кан­чи­ва­ет­ся в тот мо­мент, когда или пер­вое ведро опу­сте­ет, или вто­рое ведро за­пол­нит­ся. Вы­ли­вать воду из ведер за­пре­ща­ет­ся.

а)  Мог ли Боря через не­сколь­ко шагов по­лу­чить в одном из ведер ровно 2 литра воды, если сна­ча­ла у него были ведра объ­е­мом 4 литра и 7 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом 8 лит­ров?

б)   Мог ли Боря через не­сколь­ко шагов по­лу­чить рав­ные объ­е­мы воды во всех вед­рах, если сна­ча­ла у него были ведра объ­е­ма­ми 5 лит­ров и 7 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом 10 лит­ров?

в)  Сна­ча­ла у Бори были ведра объ­е­ма­ми 3 литра и 6 лит­ров, пол­ные воды, а также пу­стое ведро объ­е­мом n лит­ров. Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может при­ни­мать n, если из­вест­но, что Боря смо­жет по­лу­чить через не­сколь­ко шагов ровно 4 л воды в одном из вёдер?