а)  Пусть было 3 участ­ни­ка, ко­то­рые на­бра­ли 90, 72 и 2 балла. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест  балла. После до­бав­ле­ния бал­лов у участ­ни­ков ока­за­лось 95, 77 и 7 бал­лов. Сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 7 бал­лов.

б)  В при­ме­ре преды­ду­ще­го пунк­та сред­ний балл участ­ни­ков теста, сдав­ших тест, пер­во­на­чаль­но со­став­лял 90 бал­лов, а после до­бав­ле­ния бал­лов со­ста­вил бал­лов.

в)  Пусть всего было N участ­ни­ков теста, сдали тест a участ­ни­ков, после до­бав­ле­ния бал­лов сдали тест b участ­ни­ков. За­ме­тим, что сред­ний балл после до­бав­ле­ния со­ста­вил 85. Имеем два урав­не­ния: 80N  =  65(N − a) + 90a и 85N  =  69(N − b) + 93b, от­ку­да 15N = 25a, то есть 3N = 5a, и 16N = 24b, то есть 2N = 3b. По­это­му целое число N де­лит­ся на 5 и на 3, то есть де­лит­ся на 15. Таким об­ра­зом, N ≥ 15.

По­ка­жем, что N могло рав­нять­ся 15. Пусть из­на­чаль­но 5 участ­ни­ков на­бра­ли по 64 балла, 1 участ­ник  — 70 бал­лов и 9 участ­ни­ков по 90 бал­лов. Тогда сред­ний балл был равен 80, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, был равен 90, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, был равен 65. После до­бав­ле­ния сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 93, сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, стал равен 69. Таким об­ра­зом, все усло­вия вы­пол­не­ны.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  15.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Алек­сандра Кри­во­ла­по­ва (Бу­зу­лук).

Пусть a  — ко­ли­че­ство уче­ни­ков, сдав­ших тест из­на­чаль­но, b  — ко­ли­че­ство че­ло­век, так и не сдав­ших тест после до­бав­ле­ния бал­лов, n  — ко­ли­че­ство че­ло­век, ре­зуль­тат ко­то­рых пре­вы­сил про­ход­ной балл после до­бав­ле­ния бал­лов. До до­бав­ле­ния сред­ний балл всех участ­ни­ков был равен 80, сред­ний балл не сдав­ших был равен 65, а сдав­ших  — 90, а после до­бав­ле­ния 5 бал­лов каж­до­му сред­ний балл всех участ­ни­ков стал равен 85, не сдав­ших  — 69, сдав­ших  — 93. За­ме­тим, что сред­ний балл всех участ­ни­ков равен сред­не­му баллу сдав­ших и не сдав­ших тест. Таким об­ра­зом, до до­бав­ле­ния бал­лов:

После при­бав­ле­ния бал­лов:

Из урав­не­ний (*) и (**) по­лу­ча­ем си­сте­му:

При n  =  1 ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство участ­ни­ков равно 15.

По­ка­жем до­сти­жи­мость най­ден­но­го зна­че­ния: из сред­не­го балла не сдав­ших участ­ни­ков после до­бав­ле­ния 5 бал­лов по­лу­ча­ем, что из­на­чаль­но у b участ­ни­ков в сред­нем было по 64 балла. Из сред­не­го балла сдав­ших участ­ни­ков до при­бав­ле­ния 5 бал­лов по­лу­ча­ем, что из­на­чаль­но у a участ­ни­ков в сред­нем было по 90 бал­лов. Пусть x  — сред­ний балл не сдав­ших участ­ни­ков до до­бав­ле­ния, тогда:

Таким об­ра­зом, под­хо­дит при­мер: 5 участ­ни­ков, на­брав­ших 64 балла, 1 участ­ник, на­брав­ший 70 бал­лов, 9 участ­ни­ков, на­брав­ших 90 бал­лов.