В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса 
), b овощей весят 1000 г (их суммарная масса 
), c овощей легче 1000 г (их суммарная масса 
). Тогда условие записывается системой:
а) В этом случае 
и 
Из системы имеем: 
откуда 
Противоречие с условием, что в ящике есть хотя бы два овоща различной массы
б) В этом случае 
Тогда из системы имеем: 
и 
откуда 
Но тогда a — нецелое число. Противоречие.
в) Пусть x — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит
Это выражение должно быть не меньше 944. Решая неравенство 
получаем 
Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное 
Вычитая из уравнения 
уравнение 
получим: 
Но 
откуда 
(т. к. числа натуральные). Поэтому из того, что овощей 68, получаем оценку 
Если 
то 
Откуда 
что противоречит натуральности a (хотя бы из соображений четности). Если 
то наши уравнения имеют решение: 
Тогда минимальное возможное x получается из уравнения 
откуда 
(иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 229 г., тринадцать овощей массой 999 г., пять овощей массой 1000 г. и сорок девять овощей массой 1016 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 229.