СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526330

В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение.

Пусть всего овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса ), овощей весят 1000 г (их суммарная масса ), овощей легче 1000 г (их суммарная масса ). Тогда условие записывается системой:

а) В этом случае и . Из системы имеем: , откуда . Противоречие с условием, что в ящике есть хотя бы два овоща различной массы

б) В этом случае . Тогда из системы имеем: и , откуда Но тогда a — нецелое число. Противоречие.

в) Пусть — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

.

Это выражение должно быть не меньше 944. Решая неравенство , получаем . Следовательно, чтобы найти минимальное возможное , надо найти максимально возможное .

Вычитая из уравнения уравнение получим: Но , откуда (т.к. числа натуральные). Поэтому из того, что овощей 68, получаем оценку Если , то . Откуда , что противоречит натуральности a (хотя бы из соображений четности). Если , то наши уравнения имеют решение: , .

Тогда минимальное возможное получается из уравнения , откуда (иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 229 г., тринадцать овощей массой 999 г., пять овощей массой 1000 г. и сорок девять овощей массой 1016 г.

 

Ответ: а) Нет; б) Нет; в)  229.


Аналоги к заданию № 526330: 526534 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 316, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки