a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На рёбрах AC, AD, BD и BC тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки K, L, M и N со­от­вет­ствен­но, причём Четырёхуголь­ник KLMN квад­рат.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CKMN, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

  — с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Сколь­ко руб­лей пла­ни­ру­ет­ся взять в банке, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года), а общая сумма вы­плат равна 311 040 руб­лей?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда MN боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке C. Хорды KM и KN пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но, а от­рез­ки KC и AB пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину хорды MN, если a ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти равен

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет на от­рез­ке [0; 1] ровно один ко­рень.

У Пети есть мо­не­ты но­ми­на­лом 1, 2, 5 и 10 руб­лей. Каж­до­го вида монет у него по 100 штук. Цена пи­рож­но­го в руб­лях вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Петя хочет ку­пить пи­рож­ное без сдачи, но до по­куп­ки не знает сколь­ко оно стоит.

а)  Может ли Петя вы­брать дома 16 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 100  руб­лей?

б)  Может ли Петя вы­брать дома 5 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 25  руб­лей?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет нужно взять Пете, если из­вест­но, что пи­рож­ное стоит не более 100  руб­лей?