а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды MABC яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но грани MBC. Через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды M и се­ре­ди­ны ребер AC и BC про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним тре­уголь­ни­ком.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны C до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В рас­тво­ре Х со­дер­жит­ся 30% ве­ще­ства А и 50% ве­ще­ства В, в рас­тво­ре Y со­дер­жит­ся 50% ве­ще­ства А и 40% ве­ще­ства В, в рас­тво­ре Z со­дер­жит­ся 80% ве­ще­ства А и 10% ве­ще­ства В. В ре­зуль­та­те сме­ши­ва­ния по­лу­чил­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 60% ве­ще­ства А. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­дер­жа­ние ве­ще­ства В в по­лу­чив­шем­ся рас­тво­ре.

Дана окруж­ность с диа­мет­ром AB. Вто­рая окруж­ность с цен­тром в точке A пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точ­ках C и D и диа­метр в точке E. На дуге CE, не со­дер­жа­щей точки D, взята точка M, от­лич­ная от точек C и E. Луч BM пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке N, а вто­рую пе­ре­се­ка­ет вто­рич­но в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что MN  =  NK.

б)  Най­ди­те MN, если из­вест­но, что CN  =  2, ND  =  3.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет ровно два ре­ше­ния.

Участ­ни­ки кон­кур­са на луч­шую ма­те­ма­ти­че­скую за­да­чу ано­ним­но при­сы­ла­ют каж­дый свою за­да­чу. После пуб­ли­ка­ции все участ­ни­ки дают оцен­ку каж­дой за­да­че, кроме своей. В кон­кур­се при­ни­ма­ют уча­стие 6 че­ло­век. Каж­дый участ­ник за луч­шую по его мне­нию за­да­чу дает 5 бал­лов, за сле­ду­ю­щую  — 4 балла и так далее, за пятую  — 1 балл. По каж­дой за­да­че баллы сум­ми­ру­ют­ся, так опре­де­ля­ет­ся рей­тинг за­да­чи.

а)  Могут ли все рей­тин­ги быть про­сты­ми чис­ла­ми?

б)   Могла ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших рей­тин­гов быть в три раза боль­ше суммы осталь­ных?

в)  Ка­ко­ва ми­ни­маль­ная сумма тре­тье­го и чет­вер­то­го рей­тин­гов, если им дали но­ме­ра в по­ряд­ке не­воз­рас­та­ния?