а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те его корни на от­рез­ке

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит сро­ком на 5 лет в раз­ме­ре 630 тыс. руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг оста­ет­ся рав­ным 630 тыс. руб.;

  — суммы вы­плат 2024 и 2025 годов равны.

Най­ди­те r, если в 2025 году долг будет пол­но­стью вы­пла­чен и общие вы­пла­ты со­ста­вят 915 тыс. руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 3, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 6. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни?

Сорок гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 40 г раз­ло­жи­ли по двум кучам, в каж­дой куче хотя бы одна гирь­ка. Масса каж­дой гирь­ки вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. Затем из вто­рой кучи пе­ре­ло­жи­ли в первую одну гирь­ку. После этого сред­няя масса гирек в пер­вой куче уве­ли­чи­лась на 1 г.

а)  Могло ли такое быть, если пер­во­на­чаль­но в пер­вой куче ле­жа­ли толь­ко гирь­ки мас­сой 6 г, 10 г и 14 г?

б)  Могла ли сред­няя масса гирек в пер­вой куче пер­во­на­чаль­но рав­нять­ся 8,5 г?

в)  Какое наи­боль­шее число гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой куче?

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 3, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы  — цифру 7, а числа из тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 8 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 17 раз?

в)  В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту CC₁ и ме­ди­а­ну AA₁. Ока­за­лось, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AA₁ : CC₁  =  3 : 2 и A₁C₁  =  2.

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен за два года, причём в пер­вый год будет вы­пла­че­но 260 000 руб­лей, а вто­рой год  —  169 000 руб­лей.

На сто­ро­нах АВ, ВС и АС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­ны точки C₁, A₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но, причём АC₁ : С₁B  =  21 : 10, ВА₁ : A₁C  =  2 : 3, АВ₁ : В₁С  =  2 : 5. От­рез­ки BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ADA₁B₁  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те CD, если от­рез­ки AD и ВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны, АС = 63, ВС  =  25.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, бо­ко­вое ребро Точка Q  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ВС, СC₁ и А₁C₁ cот­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Q, M, N и K лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния QMN.