а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  Пусть а  — сумма бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, с  — сумма наи­мень­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За­ме­тим, что сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, по­это­му сред­ний балл по обеим кон­троль­ным также равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + k кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да С дру­гой сто­ро­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Ана­ло­гич­но преды­ду­щем пунк­ту по­лу­ча­ем: от­ку­да

При­ведём при­мер, когда Если (то есть 10 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 20 бал­лов за каж­дую), а (на­при­мер, каж­дую кон­троль­ную ра­бо­ту пи­са­ли по 9 сту­ден­тов, из ко­то­рых чет­ве­ро по­лу­чи­ли по 10 бал­лов, а пя­те­ро  — по 9 бал­лов), то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)