СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514200

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Ре­ше­ние.

Пусть a юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и b юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда ко­ли­че­ство де­ву­шек ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем

а) Спра­ши­ва­ет­ся, имеет ли урав­не­ние ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде Ясно, что числа и яв­ля­ют­ся одним из ре­ше­ний. То есть если 14 юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и трое юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му, то всего они от­пра­ви­ли 119 писем, ко­то­рые можно рас­пре­де­лить между 17 де­вуш­ка­ми так, чтобы каж­дая по­лу­чи­ла ровно 7 писем.

б) Общее ко­ли­че­ство писем долж­но де­лить­ся на ко­ли­че­ство де­ву­шек без остат­ка. За­ме­тим, что тогда в силу тож­де­ства число также долж­но де­лить­ся на Если не де­лит­ся на 17, то b де­лит­ся на что про­ти­во­ре­чит усло­ви­ям Зна­чит, де­лит­ся на 17. Наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 17, — это 17. При­мер того, что де­ву­шек может быть ровно 17, при­ведён в преды­ду­щем пунк­те.

в) Пусть юно­шей от­пра­ви­ли по 4 пись­ма и юно­шей от­пра­ви­ли по 21 пись­му. Тогда сум­мар­но они от­пра­ви­ли писем, а число по­лу­чен­ных де­вуш­ка­ми писем не мень­ше

По­лу­ча­ем

от­ку­да

При имеем что про­ти­во­ре­чит усло­вию

Если то сум­мар­ное ко­ли­че­ство от­прав­лен­ных писем равно Эти пись­ма можно рас­пре­де­лить между де­вуш­ка­ми сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 40 де­ву­шек по­лу­чи­ли от 0 до 39 писем и ещё одна — 47. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек — это 41.

 

Ответ: а) да; б) 17; в) 41.

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки