СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514200

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Решение.

Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек количество отправленных писем

а) Спрашивается, имеет ли уравнение решение. Запишем его в виде Ясно, что числа и являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б) Общее количество писем должно делиться на количество девушек без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества число также должно делиться на Если не делится на 17, то b делится на что противоречит условиям Значит, делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17, — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.

в) Пусть юношей отправили по 4 письма и юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили писем, а число полученных девушками писем не меньше

Получаем

откуда

При имеем что противоречит условию

Если то суммарное количество отправленных писем равно Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 41.

 

Ответ: а) да; б) 17; в) 41.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки