В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек 
количество отправленных писем 
а) Спрашивается, имеет ли уравнение 
решение. Запишем его в виде 
Ясно, что числа 
и 
являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.
б) Общее количество писем 
должно делиться на количество девушек 
без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества 
число 
также должно делиться на 
Если не делится на 17, то b делится на что противоречит условиям 
Значит, делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17, — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.
в) Пусть a юношей отправили по 4 письма и 
юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили 
писем, а число полученных девушками писем не меньше
Получаем
откуда 
При 
имеем 
что противоречит условию 
Если 
то суммарное количество отправленных писем равно 
Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 41.
Ответ: а) да; б) 17; в) 41.