Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 20 мг и со­дер­жит 5% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 0,4 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте трёх ме­ся­цев и весом 5 кг в те­че­ние суток?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Омске за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ведённой диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев, от на­ча­ла года до ок­тяб­ря вклю­чи­тель­но, сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла −5 гра­ду­сов Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 17 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Денис По­лян­кин. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Денис По­лян­кин будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии.

Ре­ши­те урав­не­ние

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 36, DE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABED.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x) и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

В пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед впи­са­на сфера с ра­ди­у­сом 4. Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где − тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на), − тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Два ав­то­мо­би­ля от­прав­ля­ют­ся в 420-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью на 10 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость ав­то­мо­би­ля, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [6; 8].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды DABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  15 и BC  =  9. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AD. На ребре BC вы­бра­на точка E так, что CE  =  3, а на ребре AC вы­бра­на точка F так, что CF  =  5. Плос­кость MEF пе­ре­се­ка­ет ребро BD в точке N. Рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой EF равно

а)  До­ка­жи­те, что N  — се­ре­ди­на ребра BD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MNF.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ве­ли­чи­на угла AOC со­став­ля­ет 120°.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если а

15 ян­ва­ря Антон взял в кре­дит 3 мил­ли­о­на руб­лей на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го фев­ра­ля, ап­ре­ля и июня долг дол­жен быть на одну де­вя­тую часть от ис­ход­ной суммы долга мень­ше, чем ве­ли­чи­на долга 15 числа преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-⁠го марта, мая и июля долг дол­жен быть на две де­вя­тых части от ис­ход­ной суммы долга мень­ше, чем ве­ли­чи­на долга 15 числа преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 220 тысяч руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на

Агата до­би­ра­лась от дома до ин­сти­ту­та на своем ав­то­мо­би­ле с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 100 км/⁠ч. Об­рат­но она ехала с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, ко­то­рая из­ме­ря­лась целым чис­лом ки­ло­мет­ров в час, при­чем путь до дома занял у нее боль­ше вре­ме­ни, чем путь до ин­сти­ту­та.

а)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки со­ста­вить 90 км/⁠ч?

б)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки ока­зать­ся рав­ной це­ло­му числу ки­ло­мет­ров в час?

в)  Какое наи­мень­шее целое число ки­ло­мет­ров в час могла со­став­лять ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки?