СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 506025

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладется на одну чашу весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

б) Сколько существует различных правильных наборов?

(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Решение.

Пусть наибольший вес гири в некотором правильном наборе равен пусть общий вес всех остальных гирь равен Ясно, что любой вес, меньший можно уравновесить меньшими гирями, значит, Пусть тогда у нас есть минимум два способа уравновесить вес где — это остаток от деления на Значит,

Пусть гирь максимального веса штук, тогда общий вес всех гирь значит, 501 делится на Найдя можно определить вес второй по тяжести гири. Аналогичными рассуждениями получаем, что она должна быть делителем Разложим 501 на простые множители: Значит, существует всего два набора, кроме состоящего из одних однограммовых гирек. Первый набор состоит из двух гирь весом 167 и 166 гирь весом по 1. Второй набор состоит из 166 гирь весом 3 и двух гирь весом 1. Эти наборы дают ответ на пункт а).

Ответ на пункт б): три набора.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки