Рассматривается набор гирек, масса каждой из которых — целое число граммов, а общая масса всех гирек равна 500 граммам. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее массу, выраженную целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирек набора и притом единственным образом (тело кладется на одну чашу весов, гирьки — на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирек на другие той же массы, считаются одинаковыми).
а) Является ли правильным набор, состоящий из 167 гирек массой по одному грамму, одной гирьки массой 165 граммов и одной гирьки массой 168 граммов?
б) Приведите пример правильного набора, в котором не все гирьки по одному грамму.
в) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гирька участвует в этих наборах неодинаковое число раз.)
а) Этот набор не универсальный, поскольку массу 165 г можно уравновесить двумя способами: 165 гирек массой по 1 г или одна гирька массой 165 г.
б) Например, две гирьки массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму.
в) Пусть наибольшая масса гирьки в некотором правильном наборе равен M, а общая масса всех остальных гирек равна m. Ясно, что любую массу, меньшую M, можно уравновесить меньшими гирьками, значит, 
Пусть 
тогда есть минимум два способа уравновесить массу 
где r — это остаток от деления m на M. Значит, 
Пусть гирек максимальной массы k штук, тогда общая масса всех гирек 
значит, 501 делится на M. Найдя M, можно определить массу второй по тяжести гирьки. Аналогичными рассуждениями получаем, что она должна быть делителем M. Разложим 501 на простые множители: 
Значит, существует всего два набора, кроме состоящего из одних однограммовых гирек. Первый набор состоит из двух гирек массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму. Второй набор состоит из 166 гирек массой по 3 грамма и двух гирек массой по 1 грамму.
Ответ: а) нет; б) две гирьки массой 167 граммов и 166 гирек массой по 1 грамму; в) три набора.
Примечание редакции Решу ЕГЭ.
Мы отредактировали задание, добавив третий вопрос — пункт а).
Откуда уверенность, что гирьки, массой больше одного грамма, должны иметь одинаковую массу? Почему ничего не говорится про другие варианты?
Там это не утверждается. Там говорится, что гирьки максимальной массы должны иметь одинаковую массу (это неудивительно), причем она должна быть делителем 501. Аналогично гирьки следующей массы имеют массу-делитель 167 или 3, но поскольку это простые числа, то вторые по массе гирьки уже единицы.