Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630190

Имеются три коробки: в первой — 97 камней, во второй — 104 камня, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.

а) Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, в третьей  — 15?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) Известно, что в первой коробке 1 камень. Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке.

Спрятать решение

Решение.

а) Применяя алгоритм

 левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a минус 1,b минус 1,c плюс 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a минус 2, b минус 2, c плюс 4 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a,b минус 3, c плюс 3 правая круглая скобка

пять раз, мы переложим 15 камней из второй коробки в третью, что и требуется.

б) Если в одной коробке окажется 201 камень, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 разность количества камней каждый ход либо не меняется, либо меняется на 3, поэтому никогда не будет делиться на 3 и в частности не станет нулем.

в) Изначально разность количеств камней во второй и первой коробках составляет 104-97=7. Это число должно либо не поменяться, либо поменяться на число, кратное трем, то есть по-прежнему давать остаток 1 при делении на 3. При этом в первой коробке 1 камень, значит, во второй как минимум 2 (поскольку 0 минус 1 и 1 минус 1 нужного остатка не дают). Тогда в третьей коробке не более 201 минус 1 минус 2=198 камней. Столько камней собрать можно так

 левая круглая скобка 97,104, 0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 96, 103, 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 98,102, 1 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 100, 101, 0 правая круглая скобка ,

а затем 99 раз перекладывать в третью коробку.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 198.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край, Задания 18 ЕГЭ–2022
Классификатор алгебры: Числа и их свойства