ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 630190 Добавить в вариант

Имеются три коробки: в первой  — 97 камней, во второй  — 104 камня, в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 89, в третьей  — 15?

б)  Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в)  Известно, что в первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Спрятать решение

Решение.

а)  Применяя алгоритм

$левая круглая скобка a,b,c правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a минус 1,b минус 1,c плюс 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a минус 2, b минус 2, c плюс 4 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка a,b минус 3, c плюс 3 правая круглая скобка$

пять раз, мы переложим 15 камней из второй коробки в третью, что и требуется.

б)  Если в одной коробке окажется 201 камень, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 разность количества камней каждый ход либо не меняется, либо меняется на 3, поэтому никогда не будет делиться на 3 и в частности не станет нулем.

в)  Изначально разность количеств камней во второй и первой коробках составляет 104 − 97  =  7. Это число должно либо не поменяться, либо поменяться на число, кратное трем, то есть по-прежнему давать остаток 1 при делении на 3. При этом в первой коробке 1 камень, значит, во второй как минимум 2 (поскольку $0 минус 1$ и $1 минус 1$ нужного остатка не дают). Тогда в третьей коробке не более $201 минус 1 минус 2=198$ камней. Столько камней собрать можно так

$левая круглая скобка 97,104, 0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 96, 103, 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 98,102, 1 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 100, 101, 0 правая круглая скобка ,$

а затем 99 раз перекладывать в третью коробку.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  198.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край;

Задания 18 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь