Ша­ри­ко­вая ручка стоит 40 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких ручек можно будет ку­пить на 900 руб­лей после по­вы­ше­ния цены на 10%?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да не вы­па­да­ло осад­ков.

Для транс­пор­ти­ров­ки 45 тонн груза на 1300 км можно вос­поль­зо­вать­ся услу­га­ми одной из трех фирм-⁠пе­ре­воз­чи­ков. Сто­и­мость пе­ре­воз­ки и гру­зо­подъ­ем­ность ав­то­мо­би­лей для каж­до­го пе­ре­воз­чи­ка ука­за­на в таб­ли­це. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за самую де­ше­вую пе­ре­воз­ку?

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см×1см. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов  — пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Цен­траль­ный угол окруж­но­сти на 36° боль­ше впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу дан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те цен­траль­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Функ­ция опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик ее про­из­вод­ной. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка OS.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

За­ви­си­мость объ­е­ма спро­са q (еди­ниц в месяц) на про­дук­цию пред­при­я­тия–мо­но­по­ли­ста от цены p (тыс. руб.) задаётся фор­му­лой Вы­руч­ка пред­при­я­тия за месяц r (в тыс. руб.) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Опре­де­ли­те наи­боль­шую цену p, при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка со­ста­вит не менее 240 тыс. руб. Ответ при­ве­ди­те в тыс. руб.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, и A₁B₁ и точку С.

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 4, точка K  ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

В 1-⁠е клас­сы по­сту­па­ет 45 че­ло­век: 20 маль­чи­ков и 25 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом  ― 23. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент де­во­чек в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

В игре «Дро­ти­ки» есть 20 на­руж­ных сек­то­ров, про­ну­ме­ро­ван­ных от 1 до 20 и два цен­траль­ных сек­то­ра. При по­па­да­нии в на­руж­ный сек­тор игрок по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство очков, сов­па­да­ю­щее с но­ме­ром сек­то­ра, а за по­па­да­ние в цен­траль­ные сек­то­ра он по­лу­ча­ет 25 или 50 очков со­от­вет­ствен­но. В каж­дом из на­руж­ных сек­то­ров есть об­ла­сти удво­е­ния и утро­е­ния, ко­то­рые, со­от­вет­ствен­но, удва­и­ва­ют или утра­и­ва­ют но­ми­нал сек­то­ра. Так, на­при­мер, по­па­да­ние в сек­тор 10 (не в зоны удво­е­ния и утро­е­ния) дает 10 очков, в зону удво­е­ния сек­то­ра ― 20 очков, в зону утро­е­ния ― 30 очков.

а)  Может ли игрок тремя брос­ка­ми на­брать ровно 167 очков?

б)  Может ли игрок ше­стью брос­ка­ми на­брать ровно 356 очков?

в)  С по­мо­щью ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства брос­ков, игрок может на­брать ровно 1001 очко?