Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списываются 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Петя набрал 35 баллов.
а) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 30 вопросов?
б) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 35 вопросов?
в) На сколько вопросов Петя ответил правильно, если в викторине было 33 вопроса?
Будем считать, что за каждый вопрос дают 8 баллов, а потом списывают по 16 за каждый неверный ответ и по 11 за отсутствие ответа. Пусть Петя ответил неверно на x вопросов и не ответил вовсе на y, тогда он потерял 16x + 11y баллов.
а) По условию 30 · 8 − 16x − 11y = 35, откуда 16x + 11y = 205, 205 − 16x = 11y. Перебором среди чисел 205, 205 − 16, 205 − 32, ..., 205 − 192 находим единственное кратное 11 число 205 − 128 = 77, откуда y = 7.
б) По условию 35 · 8 − 16x − 11y = 35, откуда 16x + 11y = 245, 245 − 16x = 11y. Перебором среди чисел 245, 245 − 16, 245 − 32, ..., 245 − 240 находим единственное кратное 11 число 245 − 80 = 165, откуда y = 15.
в) Добавим к викторине два вопроса, на один из которых он ответит верно, а на другой неверно. Тогда получим условие пункта b, в котором уже получено x = 5, y = 15. Значит, он ответил верно на 35 − 15 − 5 = 15 вопросов, один из которых был среди дополнительных. Поэтому на самом деле верных ответов было 14.
Ответ: а) 7; б) 15; в) 14.
В пункте в) найдено значение у = 14 по примеру, сконструированному из примера пункта а). Но не получена оценка для у. А значит могут быть ещё значения у, удовлетворяющие условию. Нужно доказать, что их нет.
Оценка:
33*8 - 16x - 11y = 35. <=> 16x + 11y = 229.
Выражая у, используя то, что y>=0, получаем x<=14.
Выражая x, используя то, что x<=14 и y - нечëтное, получаем y<=5.
Для у=5 уже приведëн пример, и это соответствует 14 верно решëнным заданиям.
Для у=3 х=(229-33) /16 - не целое.
Для у=1 х=(229-11) /16 - не целое. Ч.т.д.
А зачем нужна оценка для y? Мы в пункте б) получили не какой-то оптимальный пример, а все примеры. Там же написано: «находим единственное кратное 11 число».
Наверное, Ваш способ позволяет чуть быстрее это сделать, но очень уж профессионален (а если писать для профессионалов, то еще проще было сослаться на то, что мы знаем общий вид решений линейного диофантова уравнения с двумя неизвестными).