а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со сто­ро­ной 8 на ребре AA₁ взята точка K такая, что A₁K  =  1. Через точки K и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что A₁P : PD₁  =  1 : 6, где P  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и ребра A₁D₁.

б)   Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ADD₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В по­лу­окруж­но­сти с диа­мет­ром MN рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂, ка­са­ю­щи­е­ся друг друга, по­лу­окруж­но­сти и пря­мой MN (при этом точки ка­са­ния c по­лу­окруж­но­стью  — это со­от­вет­ствен­но A и B).

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые O₁A, O₂B и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 2 и 5. Най­ди­те ра­ди­ус по­лу­окруж­но­сти.

Лео­нид яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t³ часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t³ часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.  

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Лео­нид пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб­лей. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 20 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

В те­че­ние k дней Оля каж­дый день вы­пи­сы­ва­ла в тет­радь на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 21. При этом каж­дый день, на­чи­ная со вто­ро­го, сумма вы­пи­сан­ных за день чисел была мень­ше, чем в преды­ду­щий день, а ко­ли­че­ство чисел  — хотя бы на 3 боль­ше.

а)  Может ли k рав­нять­ся 8?

б)  Может ли k рав­нять­ся 154, если сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не боль­ше 600?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, вы­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 300. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех вы­пи­сан­ных за k дней чисел?