Каж­дая ко­ман­да про­ве­ла 9 игр, по­это­му всего игр было (каж­дая игра по­счи­та­на два раза, по­это­му нужно де­лить на 2).

а)  Пусть ко­ман­да вы­иг­ра­ла x мат­чей и свела вни­чью y мат­чей, тогда она на­бра­ла очков. Зна­чит, по­это­му y может при­ни­мать толь­ко зна­че­ния, да­ю­щие оста­ток 2 при де­ле­нии на 3. Воз­мож­ны ва­ри­ан­ты: ва­ри­ант   — не­воз­мо­жен, по­лу­ча­ет­ся ми­ни­мум 11 игр,   — не­воз­мож­но. Ясно, что при­ме­ры можно по­стро­ить (на­зна­чив одной ко­ман­де нуж­ные ре­зуль­та­ты и на­зна­чив про­чим мат­чам слу­чай­ные).

б)  Две ко­ман­ды за один матч по­лу­ча­ют вме­сте либо либо очка, по­это­му за 45 мат­чей общая сумма очков со­ста­вит от до Между этими чис­ла­ми лишь одно крат­но 60  — это 120. Если вни­чью за­вер­ши­лось x мат­чей (а за­вер­ши­лись по­бе­дой одной из ко­манд), то ко­ман­ды в сумме на­бра­ли очков, от­ку­да

в)  Ясно, что есть не более одной ко­ман­ды, сыг­рав­шей вни­чью 9 раз. Далее, есть не более двух ко­манд, сыг­рав­ших вни­чью 8 раз  — если их хотя бы три, то у двух из них ре­зуль­тат един­ствен­ной не ни­чей­ной пар­тии оди­на­ков. Тогда между собой они не могли сыг­рать вни­чью (очков по­ров­ну), но и ре­зуль­та­тив­но не могли. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство ни­чьих не пре­вос­хо­дит

по­это­му оно не более 36.

При­ве­дем при­мер для 36 ни­чьих. Пусть вы­иг­ры­ша­ми пер­вой упо­мя­ну­той в паре ко­ман­ды за­вер­ши­лись матчи 2  — 3, 3  — 4, 4  — 2, 5  — 10, 7  — 8, 7  — 10, 9  — 6, 9  — 8, 9  — 10, а осталь­ные за­кон­чи­лись вни­чью. Тогда у вто­рой, тре­тьей и чет­вер­той ко­манд по 10 очков и между ними нет ни­чьих, а ре­зуль­та­ты про­чих ко­манд не по­вто­ря­ют­ся (пер­вая  — 9 очков, пятая  — 11, ше­стая  — 8, далее 13, 7, 15 и 6).

Ответ: а)  2, 5; б)  15; в)  36.