Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505541

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  дробь, числитель — 4, знаменатель — 13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Спрятать решение

Решение.

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

 

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше  дробь, числитель — 5, знаменатель — 5 плюс 9 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 14 , что больше  дробь, числитель — 4, знаменатель — 13 . Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку  дробь, числитель — 7, знаменатель — 7 плюс 9 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 16 больше дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 , но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

 

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

 

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

 

Пусть в группе m_{1} мальчиков, посетивших театр, m_{2}мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

 дробь, числитель — m_{1}, знаменатель — m_{1 плюс d} меньше или равно дробь, числитель — 4, знаменатель — 13 , дробь, числитель — m_{2}, знаменатель — m_{2 плюс d} меньше или равно дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ,

значит,  дробь, числитель — m_{1}, знаменатель — d меньше или равно дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 , дробь, числитель — m_{2}, знаменатель — d меньше или равно дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Тогда  дробь, числитель — m_{1} плюс m_{2}, знаменатель — d меньше или равно дробь, числитель — 10, знаменатель — 9 , поэтому доля девочек в группе:

 дробь, числитель — d, знаменатель — m_{1 плюс m_{2} плюс d}= дробь, числитель — 1, знаменатель — дробь, числитель — m_{1 плюс m_{2, знаменатель — } {d} плюс 1} больше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — дробь, числитель — 10 {9, знаменатель — плюс 1}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 19 .

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна  дробь, числитель — 9, знаменатель — 19 .

 

Ответ: а) да: б) 10; в)  дробь, числитель — 9, знаменатель — 19 .


Аналоги к заданию № 505541: 500136 500371 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки