В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Пусть в первом взводе k солдат, во втором l солдат. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 7, и при этом:
а) Например, 54 и 63 солдата. Вместе 117, их можно построить в колонну по 9 человек в ряду так, что 6 рядов будет заполнено солдатами только из первого взвода, а 7 рядов — только из второго.
б) Предположим, что общий делитель 11. Тогда, учитывая, что 50 < k < 60, получаем, что k = 55. Наименьшее возможное значение l равно 55 + 11 = 66, но вместе получается 121 человек, что противоречит условию.
в) Число l − k больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому
Если k = 51 = 3 · 17, то d = 17, l = 68, а в роте 119 солдат.
Если k = 52 = 4 · 13, то
Если k = 53, то 53 + 53 = 106 ≤ l ≤ 66 . Противоречие.
Если k = 54 = 6 · 9, то 54 + 9 = 63 ≤ l ≤ 65. Тогда l = 63, общий делитель равен 9, и в роте 117 солдат.
Если k = 55 = 5 · 11, то 66 ≤ l ≤ 64, но числа 63 и 64 взаимно просты с 55. Противоречие.
Ответ: а) например, 54 и 63; б) нет; в) 117 и 119.