Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630707

У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.

а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?

б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Возьмем в первую группу 1 камень весом 10 000 г, во вторую 2 камня весом по 3000 г, в третью 44 камня по 100 г. Условия будут выполнены.

б) Нет. Допустим, мы построили такой пример. Ясно, что

n_1 меньше дробь: числитель: 47, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 15, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ,

следовательно, n_1 меньше или равно 15 и n_3 больше дробь: числитель: 47, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 15, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 , следовательно, n_3 больше или равно 16. Значит,

S_1 меньше или равно 15 умножить на 105=1575 меньше 1600=100 умножить на 16 меньше или равно S_3.

в) Для начала заметим, что n_3 больше или равно n_2 плюс 1 больше или равно n_1 плюс 2, откуда

47=n_1 плюс n_2 плюс n_3 больше или равно n_1 плюс n_1 плюс 1 плюс n_1 плюс 2=3n_1 плюс 3.

Итак, 47 больше или равно 3n_1 плюс 3, то есть n_1 меньше или равно 14. Аналогично n_1 меньше или равно n_2 минус 1 меньше или равно n_3 минус 2, откуда

47=n_1 плюс n_2 плюс n_3 меньше или равно n_3 минус 2 плюс n_3 минус 1 плюс n_3=3n_3 минус 3,

что дает 47 меньше или равно 3n_3 минус 3, то есть n_3 больше или равно 17.

Значит, S_3 больше или равно 100 умножить на 17=1700 и S_1 меньше или равно 14 умножить на k=14k. При этом S_1 больше или равно S_2 плюс 1 больше или равно S_3 плюс 2, поэтому 14k больше или равно 1702 или k больше или равно целая часть: 121, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 7 . Итак, наименьшее возможное k это 122.

Приведем пример для найденного k. В третьей группе будут 17 камней, все они весят по 100 г, тогда S_3=1700. В первой группе будут 14 камней, все они весят по 122 г, значит, S_1=1708. Во второй группе будут 16 камней, 8 из них весят по 106 граммов, остальные 8 по 107 граммов, следовательно, S_2=1704.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 122.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а);

— обоснованное решение пункта б);

— искомая оценка в пункте в);

— пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630707: 630700 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 501, Задания 18 ЕГЭ–2022