У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Да. Возьмем в первую группу 1 камень весом 10 000 г, во вторую 2 камня весом по 3000 г, в третью 44 камня по 100 г. Условия будут выполнены.
б) Нет. Допустим, мы построили такой пример. Ясно, что
следовательно, 
и 
следовательно, 
Значит,
в) Для начала заметим, что 
откуда
Итак, 
то есть 
Аналогично 
откуда
что дает 
то есть 
Значит, 
и 
При этом 
поэтому 
или 
Итак, наименьшее возможное k это 122.
Приведем пример для найденного k. В третьей группе будут 17 камней, все они весят по 100 г, тогда 
В первой группе будут 14 камней, все они весят по 122 г, значит, 
Во второй группе будут 16 камней, 8 из них весят по 106 г, остальные 8 по 107 г, следовательно, 
Ответ: а) да; б) нет; в) 122.