а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра и На реб­рах AA₁ и CD от­ме­че­ны точки P и K со­от­вет­ствен­но, при­чем DK  =  5, A₁P  =  6. Плос­кость ВКР пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра DD₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти BKP.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ка­зи­мир Ру­доль­фо­вич решил вло­жить не­ко­то­рую сумму денег в акции, ко­то­рые можно про­дать по цене 40p тыс. руб. в конце каж­до­го года (p  =  1, 2, 3, ...). Через не­сколь­ко лет Ка­зи­мир Ру­доль­фо­вич хочет про­дать свои акции и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги в банк под 7% го­до­вых (на­чис­ле­ние про­цен­тов про­ис­хо­дит в на­ча­ле сле­ду­ю­ще­го года). В каком году Ка­зи­ми­ру Ру­доль­фо­ви­чу сле­ду­ет про­дать свои акции, чтобы через 18 лет у него была мак­си­маль­ная сумма?

От­ре­зок AA₁  — вы­со­та ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, H  — точка пе­ре­се­че­ния его высот, М  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка АН, если и

Най­ди­те все не­ну­ле­вые зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три ре­ше­ния.

В не­сколь­ких оди­на­ко­вых боч­ках на­ли­то не­ко­то­рое ко­ли­че­ство лит­ров воды (не­обя­за­тель­но оди­на­ко­вое). За один раз можно пе­ре­лить любое ко­ли­че­ство воды из одной бочки в дру­гую.

а)  Пусть есть че­ты­ре бочки, в ко­то­рых 29, 32, 40, 91 лит­ров. Можно ли не более чем за че­ты­ре пе­ре­ли­ва­ния урав­нять ко­ли­че­ство воды в боч­ках?

б)  Пусть есть семь бочек. Все­гда ли можно урав­нять ко­ли­че­ство воды во всех боч­ках не более чем за пять пе­ре­ли­ва­ний?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пе­ре­ли­ва­ний можно за­ве­до­мо урав­нять ко­ли­че­ство воды в 26 боч­ках?