Фла­кон шам­пу­ня стоит 160 руб­лей. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство фла­ко­нов можно ку­пить на 1000 руб­лей во время рас­про­да­жи, когда скид­ка со­став­ля­ет 25%?

На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат  — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, сколь­ко минут дви­га­тель на­гре­вал­ся от тем­пе­ра­ту­ры 60 °C до тем­пе­ра­ту­ры 90 °C.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 1 изоб­ражён угол. Най­ди­те тан­генс этого угла.

Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем 3 сумки из 25 имеют скры­тые де­фек­ты. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся без де­фек­тов.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен Най­ди­те АС.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Трак­тор тащит сани с силой кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Ра­бо­та трак­то­ра (в ки­лод­жо­у­лях) на участ­ке дли­ной м вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле При каком мак­си­маль­ном угле (в гра­ду­сах) со­вершeнная ра­бо­та будет не менее 2000 кДж?

Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий  — за 14 минут, а пер­вый и тре­тий  — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит бо­ко­вое ребро AA₁ в от­но­ше­нии AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DM : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB  =  4, AA₁  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся сто­рон KL, LM и MK в точ­ках A, B и C со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BL : BM, если из­вест­но, что KC : CM  =  3 : 2 и

Вася меч­та­ет о соб­ствен­ной квар­ти­ре, ко­то­рая стоит 3 млн руб. Вася может ку­пить ее в кре­дит, при этом банк готов вы­дать эту сумму сразу, а по­га­шать кре­дит Васе при­дет­ся 20 лет рав­ны­ми еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми, при этом ему при­дет­ся вы­пла­тить сумму, на 180% пре­вы­ша­ю­щую ис­ход­ную. Вме­сто этого, Вася может какое-⁠то время сни­мать квар­ти­ру (сто­и­мость арен­ды  ― 15 тыс. руб. в месяц), от­кла­ды­вая каж­дый месяц на по­куп­ку квар­ти­ры сумму, ко­то­рая оста­нет­ся от его воз­мож­но­го пла­те­жа банку (по пер­вой схеме) после упла­ты аренд­ной платы за съем­ную квар­ти­ру. За какое время в этом слу­чае Вася смо­жет на­ко­пить на квар­ти­ру, если счи­тать, что сто­и­мость ее не из­ме­нит­ся?

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции мень­ше 2.

После того, как учи­тель до­ка­зал клас­су новую тео­ре­му, вы­яс­ни­лось, что боль­шая часть клас­са не по­ня­ла до­ка­за­тель­ство (быть может, все  — Решу ЕГЭ). На пе­ре­ме­не один уче­ник вдруг понял до­ка­за­тель­ство (и толь­ко он). Также из­вест­но, что в клас­се учит­ся не более 30, но не менее 20 че­ло­век.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь уже мень­шая часть клас­са не по­ни­ма­ет до­ка­за­тель­ство?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что ис­ход­но про­цент уче­ни­ков, по­няв­ших до­ка­за­тель­ство, вы­ра­жал­ся целым чис­лом, а после пе­ре­ме­ны  ― не­це­лым чис­лом?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­нять про­цент уче­ни­ков клас­са, так и не по­няв­ших до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы?