Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 70. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCDE.

Даны век­то­ры Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Стар­тер» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Про­тор», «Ротор» и «Мотор». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Стар­тер» будет на­чи­нать толь­ко вто­рую и по­след­нюю игры.

По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с тремя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния одной лампы в те­че­ние года равна 0,25. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит. Ре­зуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те  если

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции На оси абс­цисс от­ме­че­но де­вять точек: Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции

Мо­то­цик­лист, дви­жу­щий­ся по го­ро­ду со ско­ро­стью  км/ч, вы­ез­жа­ет из него и сразу после вы­ез­да на­чи­на­ет раз­го­нять­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем  км/ч². Рас­сто­я­ние от мо­то­цик­ли­ста до го­ро­да, из­ме­ря­е­мое в ки­ло­мет­рах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где t  — время в часах. Опре­де­ли­те наи­боль­шее время, в те­че­ние ко­то­ро­го мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если опе­ра­тор га­ран­ти­ру­ет по­кры­тие на рас­сто­я­нии не далее чем в 45 км от го­ро­да. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 45 часов, а дру­гой  — за 30 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и g(x)  =  kx, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [−5; 3].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 4, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние A₁MB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния равна 18.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 159 мил­ли­о­нов руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции на таком за­во­де равны  мил­ли­о­нов руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тысяч руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в мил­ли­о­нах руб­лей) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы го­до­вая при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  10 тысяч рубей за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 ты­ся­чу руб­лей за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

Сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна 17, а её диа­го­на­ли равны 8 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более трех раз­лич­ных ре­ше­ний.

В груп­пе по­ров­ну юно­шей и де­ву­шек. Юноши от­прав­ля­ли элек­трон­ные пись­ма де­вуш­кам. Каж­дый юноша от­пра­вил или 4 пись­ма, или 21 пись­мо, причём и тех, и дру­гих юно­шей было не менее двух. Воз­мож­но, что какой-⁠то юноша от­пра­вил какой-⁠то де­вуш­ке не­сколь­ко писем.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая де­вуш­ка по­лу­чи­ла ровно 7 писем?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство де­ву­шек могло быть в груп­пе, если из­вест­но, что все они по­лу­чи­ли писем по­ров­ну?

в)  Пусть все де­вуш­ки по­лу­чи­ли раз­лич­ное ко­ли­че­ство писем (воз­мож­но, какая-то де­вуш­ка не по­лу­чи­ла писем во­об­ще). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек в такой груп­пе?