а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней и равны 15 и 9 со­от­вет­ствен­но,

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр O боль­шей. Диа­метр BC боль­шей окруж­но­сти вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке M, от­лич­ной от A. Лучи AO и AM вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют боль­шую окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Точка C лежит на дуге AQ боль­шей окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точку P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и BC па­рал­лель­ны.

б)  Из­вест­но, что Пря­мые PC и AQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те от­но­ше­ние

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 5 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после его пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­вит 7,5 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли зна­че­ние S быть рав­ным 5?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние могло при­ни­мать S, если обе кон­троль­ные ра­бо­ты пи­са­ли 10 сту­ден­тов?