Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?
в) Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?
а) Объем склада 120 м3, поэтому одно из измерений склада кратно трем. Будем класть контейнеры длинной стороной вдоль этого измерения. Таким образом, вдоль него полностью уместится целое число контейнеров. Вдоль остальных измерений лягут измерения контейнеров длины 1 м, поэтому указанным образом склад гарантированно удастся упаковать полностью.
б) Рассмотрим склад с размерами 2×2×25 м. Очевидно, что длинную сторону контейнера можно поместить только вдоль длинной стороны склада. При этом поместится не более восьми контейнеров, то есть поместится максимум 32 контейнера и еще 4 м3 объема останется свободно.
в) Покажем, что 99% объема склада 2×2×200 м можно заполнить контейнерами. Положим 66 контейнеров длинной стороной вдоль двухсотметровой стороны склада. Рядом с ними положим второй ряд из 66 контейнеров. На полученные два нижних ряда положим такие же два верхних ряда. Незаполненным останется пространство 2×2×2 м или 1% объема склада.
Осталось показать, что при любой другой конфигурации склада получится заполнить не менее 99% объема. Действительно, пусть сторона а склада a×b×c м не меньше трех. Отделим от нее участок склада со стороной 3, то есть с размерами 3×b×c м. Его можно заполнить контейнерами без пустот. Продолжаем отделять такие участки, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими 2×2×2. Это и означает, что пустом пространством останется не более 8 из 800 кубометров.
Ответ: а) нет; б) да; в) 99%.
Пункт в): можно заполнить 99,75% склада, а именно 798 кубометров. Это возможно при размерах склада 4х4х50м.
В направлении стороны 50м укладываем контейнеры длинной стороной 3м. Таким образом заполним 3*16*16=768 кубометров. Остается пространство 4х4х2м. В этом пространстве контейнеры укладываем длинной стороной параллельно границе длиной 4 м. Таким образом заполним еще 4*3*2=24 кубометра. Остается параллелепипед 1х2х4м. В него поместим еще 2 контейнера, то есть еще 6 кубометров. Общая вместимость получается 768+24+6=798 кубометров, что составляет 99,75% от общего объема.
В вопросе пункта в) речь про любой склад объемом 800 куб. м., об этом говорит слово «гарантированно».
Приведенное доказательство состоит из двух пунктов: а) показать как можно заполнить x%; б) доказать, что x% можно заполнить всегда. Тогда я мог бы взять за x единицу, и доказать, что 1% можно заполнить гарантированно. То есть не хватает доказательства того, что при большем значении x не всегда получается заполнить склад.
Доказано, что для склада 2×2×200 м не удастся заполнить более 99%, поэтому «при большем значении х» (то есть более 99%) склад удастся заполнить не всегда.