СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 524056

У Вовы есть набор из n гру­зи­ков по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных масс в грам­мах и ча­шеч­ные весы, ко­то­рые на­хо­дят­ся в рав­но­ве­сии, если на каж­дой из двух их чаш лежат гру­зи­ки с оди­на­ко­вы­ми сум­мар­ны­ми мас­са­ми. Из­вест­но, что, какие бы два из них ни по­ло­жи­ли на одну чашу весов, все­гда можно по­ло­жить на дру­гую чашу один или не­сколь­ко из остав­ших­ся гру­зи­ков так, что весы урав­но­ве­сят­ся.

а) Может ли у Вовы быть ровно 6 гру­зи­ков, среди ко­то­рых есть гру­зик мас­сой 5 г?

б) Может ли у Вовы быть ровно 5 гру­зи­ков?

в) Из­вест­но, что среди гру­зи­ков Вовы есть гру­зик мас­сой 1 г. Какую наи­мень­шую массу может иметь самый тяжёлый гру­зик Вовы?

Ре­ше­ние.

а) Если у Вовы есть гру­зи­ки мас­са­ми 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г и 8 г, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны. Дей­стви­тель­но, пусть вы­бра­ны гру­зи­ки мас­са­ми a и b грам­мов, . Если и то урав­но­ве­сить эти гру­зи­ки можно двумя гру­зи­ка­ми с мас­са­ми и грам­мов. Если то урав­но­ве­сить эти гру­зи­ки можно двумя гру­зи­ка­ми с мас­са­ми и грам­мов. Если и то эти гру­зи­ки урав­но­ве­ши­ва­ют­ся гру­зи­ком мас­сой 7 г. Если и то эти гру­зи­ки урав­но­ве­ши­ва­ют­ся гру­зи­ком мас­сой 8 г. Если и то эти гру­зи­ки урав­но­ве­ши­ва­ют­ся гру­зи­ка­ми с мас­са­ми 3 г, 4 г и 7 г. На­ко­нец, если и то эти гру­зи­ки урав­но­ве­ши­ва­ют­ся гру­зи­ка­ми с мас­са­ми 4 г, 5 г и 6 г.

б) Пусть у Вовы есть гру­зи­ки мас­са­ми (в грам­мах) a, b, c, d, e, причём и усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны. Гру­зи­ки мас­са­ми d и e можно урав­но­ве­сить толь­ко тремя остав­ши­ми­ся гру­зи­ка­ми. Зна­чит, Ана­ло­гич­но гру­зи­ки мас­са­ми c и e можно урав­но­ве­сить толь­ко тремя остав­ши­ми­ся гру­зи­ка­ми. Зна­чит, Вы­чи­тая левые и пра­вые части двух по­лу­чен­ных ра­венств, по­лу­ча­ем От­сю­да и мы при­хо­дим к про­ти­во­ре­чию.

в) Оче­вид­но, что ко­ли­че­ство гру­зи­ков у Вовы не может рав­нять­ся трём или четырём. По до­ка­зан­но­му в пунк­те б у Вовы не может быть мень­ше 6 гру­зи­ков.

Пред­по­ло­жим, что самые лёгкие шесть гру­зи­ков Вовы — это гру­зи­ки мас­са­ми (в грам­мах) 1, a, b, c, d, e, причём и усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны.

До­пу­стим, что самый тяжёлый гру­зик весит 6 г. Тогда у Вовы есть ровно шесть гру­зи­ков с мас­са­ми 1, 2, 3, 4, 5, 6 г. Но в этом слу­чае осталь­ны­ми гру­зи­ка­ми нель­зя урав­но­ве­сить гру­зи­ки мас­са­ми 5 и 6 г. Зна­чит, самый тяжёлый гру­зик весит не мень­ше 7 г.

При­ведём при­мер под­хо­дя­ще­го на­бо­ра: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 г. До­ка­жем, что любую пару гру­зи­ков можно урав­но­ве­сить на­бо­ром остав­ших­ся. Пусть вы­бра­ны гру­зи­ки мас­са­ми a и b грам­мов, Если и то урав­но­ве­сить эти гру­зи­ки можно двумя гру­зи­ка­ми с мас­са­ми и грам­мов. Если то урав­но­ве­сить эти гру­зи­ки можно двумя гру­зи­ка­ми с мас­са­ми и грам­мов. Для остав­ших­ся пар вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства

 

Ответ: а) Да, на­при­мер, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г и 8 г; б) нет; в) 7.


Аналоги к заданию № 524056: 524078 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки