СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526295

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение.

Пусть всего овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса ), овощей весят 1000 г (их суммарная масса ), овощей легче 1000 г (их суммарная масса ). Тогда условие записывается системой:

а) В этом случае и . Из системы имеем: , откуда . Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма есть, поскольку их средняя масса 1030 г.

б) В этом случае . Тогда из системы имеем: и , откуда Но тогда a — нецелое число. Противоречие.

в) Пусть — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

.

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство , получаем . Следовательно, чтобы найти минимальное возможное , надо найти максимально возможное .

Из уравнения следует, что кратно 5. Кроме того, меньше 73. Максимальное , при котором уравнение имеет натуральные решения ( может равняться и 0), это Необходимо убедиться, что не может равняться 70, 65, 60 и 55. Подставляя эти значения в уравнение, мы получим, что может равняться 384, 878, 1372, 1866. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, Это означает, что Т.е. кратно 100. Аналогично, кратны 100. Это означает, что в этих случаях как минимум 22, но тогда , очевидно, отрицательно.

Тогда, минимальное возможное получается из уравнения , откуда (иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 449 г., сорок девять овощей массой 999 г., три овоща массой 1000 г. и двадцать овощей массой 1030 г.

 

Ответ: а) Нет; б) Нет; в)  449.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург, За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2019
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки