а)  Пусть у него x двух­руб­ле­вых, y пя­ти­руб­ле­вых и z де­ся­ти­руб­ле­вых монет. По усло­вию y + z < 10, x + z < 15, x + y < 20. Зна­чит, y + z ≤ 9, x + z ≤ 14, x + y ≤ 19. Сло­жив эти не­ра­вен­ства и по­де­лив на 2, по­лу­чим x + y + z ≤ 21, по­это­му 30 монет быть не может.

б)  В ко­пил­ке может быть 21 мо­не­та  — при x  =  12, y  =  7, z  =  2. От­ме­тим, что это един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний y + z  =  9, x + z  =  14, x + y  =  19.

в)  По усло­вию x + y + z ≥ 20, то есть x + y + z  =  20 или x + y + z  =  21. Если x + y + z  =  21, то x  =  12, y  =  7, z  =  2 и общая сумма денег равна

Если же x + y + z  =  20, то по­сколь­ку y + z ≤ 9, по­лу­ча­ем что x ≥ 20 − 9  =  11. Ана­ло­гич­но, y ≥ 20 − 14  =  6. Зна­чит,

Сумма денег у Миши равна

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при x  =  11, y  =  6, z  =  3.

Ответ: а)  нет; б)  21; в)  82.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние (Ирина Шраго).

а)  Нет. Если в ко­пил­ке 30 монет, то по усло­вию: двух­рублëвых не мень­ше 21, пя­ти­рублëвых не мень­ше 16, де­ся­ти­руб­ле­вых не мень­ше 11. Таким об­ра­зом, всего монет не мень­ше 48. Про­ти­во­ре­чие.

б)  Пусть в ко­пил­ке лежит n монет, тогда: двух­рублëвых не мень­ше n – 9, пя­ти­рублëвых не мень­ше n – 14, де­ся­ти­рублëвых не мень­ше n – 19. Всего монет n, от­ку­да то есть Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет 21: 12 двух­руб­ле­вых, 7 пя­ти­рублëвых и 2 де­ся­ти­рублëвых.

в)  По усло­вию ко­ли­че­ство монет не мень­ше 20, то есть кроме при­ме­ра из б), в ко­то­ром сумма равна 79 руб., воз­мо­жен ва­ри­ант При наи­мень­ших воз­мож­ных зна­че­ни­ях ко­ли­честв двух­рублëвых (11) и пя­ти­рублëвых монет (6), де­ся­ти­рублëвых монет может быть Тогда в ко­пил­ке будет 82 руб., это наи­боль­шая воз­мож­ная сумма в ко­пил­ке.

Ответ: а)  нет; б)  21; в)  82.