а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Все бо­ко­вые ребра че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды PKLMN равны KN  — сто­ро­не ос­но­ва­ния KLMN. Сто­ро­ны KL, LM и MN вдвое мень­ше сто­ро­ны KN.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды, опу­щен­ная из вер­ши­ны Р, про­хо­дит через се­ре­ди­ну KN.

б)  В каком от­но­ше­нии, счи­тая от точки Р, плос­кость BAL делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если А  — се­ре­ди­на РМ, а точка В делит ребро PN в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от точки Р?

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, сто­и­мость ко­то­рых со­став­ля­ет млрд руб. в конце N-го года (N  =  1, 2,...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать эти цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счет в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся в 1 + р раз. Пен­си­он­ный фонд хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги так, чтобы в конце пят­на­дца­то­го года сумма на его счете была наи­боль­шей. Рас­че­ты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце один­на­дца­то­го года. При каких зна­че­ни­ях p это воз­мож­но?

В тре­уголь­ни­ке FGH угол G пря­мой. Точка D лежит на сто­ро­не FH, A и В  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков FGD и DGH со­от­вет­ствен­но, L  — се­ре­ди­на DF, K  — се­ре­ди­на DH.

а)  До­ка­жи­те, что KL : FH  =  1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка GAB, если FG  =  8, GH  =  2.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно пять раз­лич­ных ре­ше­ний.

В спор­тив­ной сек­ции за­ни­ма­ет­ся более 20 и менее 45 школь­ни­ков. На об­ласт­ное со­рев­но­ва­ние было за­яв­ле­но более по­ло­ви­ны ребят из сек­ции, но потом ровно один из них от­ка­зал­ся участ­во­вать.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь на со­рев­но­ва­ние за­яв­ле­но менее по­ло­ви­ны школь­ни­ков из этой сек­ции?

б)  Из­вест­но, что и до, и после от­ка­за од­но­го из ребят про­цент за­яв­лен­ных на со­рев­но­ва­ние вы­ра­жал­ся целым чис­лом. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния числа за­ни­ма­ю­щих­ся в этой сек­ции.

в)  Какое наи­мень­шее целое зна­че­ние мог при­нять про­цент за­яв­лен­ных спортс­ме­нов после от­ка­за од­но­го из школь­ни­ков?