СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526730

Петя играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем А всего солдатиков у Пети меньше Петя знает, что может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.

а) Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.

б) Может ли Петя построить колонну указанным способом по солдатиков в ряд?

в) Сколько всего солдатиков может быть у Пети? Укажите все возможные варианты.

Решение.

Пусть в первом наборе солдатиков, во втором солдатиков. Тогда числа и имеют общий делитель, больший 8, и при этом

а) Например, и солдатиков. Вместе солдатиков их можно построить в колонну по солдатиков в ряд так, что рядов будет заполнено солдатиками только из первого набора, а рядов — только из второго.

б) Предположим, что общий делитель равен Тогда, учитывая, что , получаем, что Наименьшее возможное значение равно но вместе получается солдатиков, что противоречит условию.

в) Число больше нуля и делится на общий делитель чисел и поэтому что вместе с условием приводит к неравенству то есть При этом

где  — наименьший общий делитель, превосходящий

Если то Противоречие.

Если то а в наборах всего 108 солдатиков.

Если то Противоречие.

Если то а в наборах всего 110 солдатиков.

 

Ответ: a) Например, 50 и 60; б) нет; в) 108 или 110.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки