а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ длина бо­ко­во­го ребра AA₁ равна 2. Шар с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся всех гра­ней этой приз­мы. Точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ребер AB, A₁B₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой NO с плос­ко­стью ос­но­ва­ния АВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РК и МО па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до плос­ко­сти АРК.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Юрий Вла­ди­ми­ро­вич взял кре­дит в банке на 12 лет под 16% го­до­вых. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы: за пер­вый год поль­зо­ва­ния кре­ди­том он вы­пла­чи­ва­ет часть тела кре­ди­та, за вто­рой год часть остав­ше­го­ся тела кре­ди­та, за тре­тий год часть но­во­го остат­ка тела кре­ди­та и т. д., за 12-⁠й год вы­пла­чи­ва­ет остав­шу­ю­ся часть тела кре­ди­та.

Про­цен­ты за поль­зо­ва­ние кре­ди­том вы­пла­чи­ва­ют­ся в конце каж­до­го года поль­зо­ва­ния кре­ди­том со­ли­дар­но с пред­при­я­ти­ем  — ра­бо­то­да­те­лем Юрия Вла­ди­ми­ро­ви­ча. При этом пред­при­я­тие вы­пла­чи­ва­ет чет­верть про­цент­ной став­ки, а осталь­ную часть про­цент­ной став­ки вы­пла­чи­ва­ет за­ем­щик.

Какую сумму в ты­ся­чах руб­лей дол­жен будет за­пла­тить Юрий Вла­ди­ми­ро­вич за пятый год поль­зо­ва­ния кре­ди­том вме­сте с долей про­цент­ной став­ки (без доли пред­при­я­тия), если общая сумма за­трат пред­при­я­тия со­став­ля­ет 624 ты­ся­чи руб­лей?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом С про­дол­же­ние бис­сек­три­сы СK этого тре­уголь­ни­ка (точка К лежит на ги­по­те­ну­зе AB) пе­ре­се­ка­ет его опи­сан­ную окруж­ность в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы AB, пе­ре­се­ка­ет вто­рич­но опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка АBC в точке М и пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая МK яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ВМР.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка МКР, если AC  =  3 и BC  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не­чет­ное число кор­ней на от­рез­ке [1; 4].

На он­лайн-кур­сах ан­глий­ско­го языка ис­поль­зу­ет­ся одна из схем уско­рен­но­го за­по­ми­на­ния ино­стран­ных слов.

Пред­ла­га­ет­ся раз­де­лить про­грам­му обу­че­ния на n уро­ков про­дол­жи­тель­но­стью 1, 2, 3, ..., n минут. Пре­по­да­ва­тель кур­сов уве­ря­ет, что за не­сколь­ко дней можно по­смот­реть все уроки по од­но­му разу, вы­де­ляя на за­ня­тие ровно 15 минут каж­дый день. Каж­дый урок не­об­хо­ди­мо смот­реть от на­ча­ла до конца в те­че­ние дня в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

а)  Воз­мож­но ли это при n  =  5?

б)  Воз­мож­но ли это при n  =  10?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные n, при ко­то­рых это воз­мож­но.