а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 8, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ от­ме­че­на точка М, при­чем СМ  =  1.

а)  Точки О и О₁  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков АВС и А₁В₁С₁ со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мая ОО₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВМ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А₁ до плос­ко­сти АВМ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Бис­сек­три­са пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке L. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку L и се­ре­ди­ну N ги­по­те­ну­зы АВ, пе­ре­се­ка­ет катет ВС в точке М.

а)  До­ка­жи­те,

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если AB  =  20 и

Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет вклад на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и чет­вер­то­го годов вклад­чик еже­год­но по­пол­ня­ет вклад на 10 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром банк за че­ты­ре года на­чис­лит на вклад мень­ше 15 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы два маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва чет­верть своих кон­фет. После этого у любых двух де­во­чек ока­за­лось оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух маль­чи­ков  — раз­ное. Из­вест­но, что каж­дый из детей отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Может ли маль­чи­ков быть ровно столь­ко же, сколь­ко де­во­чек?

б)  Может ли маль­чи­ков быть боль­ше, чем де­во­чек?

в)  Пусть де­во­чек вдвое боль­ше, чем маль­чи­ков. Может ли у всех детей сум­мар­но быть 328 кон­фет?