СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 501071

За но­во­год­ним сто­лом дети ели бу­тер­бро­ды и кон­фе­ты, при­чем каж­дый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и дру­гое. Из­вест­но, что маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, было не более чем от об­ще­го числа детей, евших бу­тер­бро­ды, а маль­чи­ков, евших кон­фе­ты, было не более от об­ще­го числа детей, евших кон­фе­ты.

а) Могло ли за сто­лом быть 13 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть за сто­лом, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа детей без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

Решение.

а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков.

 

б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m1. Тогда число не больше , чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем откуда и, следовательно, Пусть m2 — число мальчиков, евших конфеты. Аналогично, откуда, учитывая, что m2 число целое, находим: Но тогда общее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем 5 + 7 = 12. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.

 

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 25 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 13.

 

в) Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой — только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.

 

Пусть, как прежде, m1 мальчиков ели бутерброды, m2 ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю девочек. Будем считать, что каждая девочка ела и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.

 

По условию значит,

 

Тогда поэтому доля девочек равна

 

 

Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна

 

Ответ:а) да; б) 13; в)

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки