Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 и 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?
б) Могли ли её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?
а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).
б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.
В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию. Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы менее 22 рублей. Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.
в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда 2k + 5l + 10m = 85 и k + l + m = 24. Отсюда получаем k = 24 − l − m, 48 − 2l − 2m + 10m = 85 и 8m = 37 − 3l. Значит, 37 − 3l равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится
Пример k = 15, l = 7 и m = 2 показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.
Приведём другое решение.
а) Допустим у нее было 5 монет по 2, 3 монеты по 5 и 6 монет по 10, итого 14. При этом 56 = 5 · 10 + 3 · 2 и 29 = 10 + 3 · 5 + 2 · 2.
б) У нее должна была быть минимум одна монета в 5 рублей, иначе сумму 15 не набрать. Остается набрать 10 + 15 − 5 + 20 = 40 с помощью 18 монет. Если среди них есть десятка, то общая сумма не меньше 17 · 2 + 10 = 44. Если есть две пятерки — общая сумма не меньше 16 · 2 + 2 · 5 = 42. Если же десяток нет, а пятерок не более одной, то общая сумма не более 17 · 2 + 5 = 39.
в) Пусть было x пятирублевых, y двухрублевых и 24 − x − y десятирублевых. Тогда общая сумма была равна 5x + 2y + 10 · (24 − x − y) = 85, откуда следует, что y кратно 5.
Если y = 0, то получим 5x + 10 · (24 − x) = 85, x = 31, что невозможно.
Если y = 5, то получим 5x + 10 · (19 − x) = 75, x = 23, что невозможно, так как x + y > 24.
Если y = 10, то получим 5x + 10 · (14 − x) = 65, x = 15, что невозможно, так как x + y > 24.
Если y = 15, то получим 5x + 10 · (9 − x) = 55, x = 7.
Если y = 20, то получим 5x + 10 · (4 − x) = 45, x = −1, что невозможно.
Итак, единственный возможный случай — 7 монет по 5 рублей, 15 монет по 2 рубля и 2 монеты по 10 рублей.
Приведем еще одно решение пунктов б) и в) (Ирина Шраго).
б) На всю покупку потрачено 45 руб. Покажем, что эту сумму невозможно заплатить 19 монетами по 2, 5 и 10 руб. Действительно, 10 руб. быть не может, поскольку 2 руб. · 18 = 36, что больше 45 − 10 = 35 руб. Пусть у Ани а двухрублевых и b пятирублевых монет. Тогда одновременно 
и 
откуда 
Но число b — целое. В силу полученного противоречия требуемое невозможно.
в) Пусть у Ани а двухрублевых, b пятирублевых монет и с десятирублевых монет. Получаем систему: 
и 
Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, находим, что 
откуда 
Поскольку число b не меньше нуля, число с не больше 4.
Из равенства (⁎) видно, что наименьшему значению b соответствует наибольшее значение с. Для с = 4 число 
для c = 3 получаем 
эти случаи невозможны. что невозможно. При с = 2 находим: b = 7 и а = 15.
Таком образом, покупка стоит 
и наименьшее количество пятирублеëвых монет равно 7.