Ост­рый угол B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 66°. Най­ди­те угол между бис­сек­три­сой CD и ме­ди­а­ной CM, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся вер­ши­ны A, B, C, D, B₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AB  =  9, BC  =  3, BB₁  =  8.

Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Стар­тер» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Про­тор», «Ротор» и «Мотор». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Стар­тер» будет на­чи­нать толь­ко вто­рую и по­след­нюю игры.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,03. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 2). В какой точке от­рез­ка [−8; −4] функ­ция f (x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну где   — на­чаль­ная масса изо­то­па, t  — время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та, T  — пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 96 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 3 мин. Най­ди­те, через сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 3 мг.

Пер­вый са­до­вый насос пе­ре­ка­чи­ва­ет 8 лит­ров воды за 2 ми­ну­ты, вто­рой насос пе­ре­ка­чи­ва­ет тот же объём воды за 7 минут. Сколь­ко минут эти два на­со­са долж­ны ра­бо­тать сов­мест­но, чтобы пе­ре­ка­чать 36 лит­ров воды?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(16).

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат, и AK : KC  =  3 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CKLMN, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей будет вы­пла­че­но банку, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за три года) и общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 104 800 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда MN боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке C. Хорды KM и KN пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но, а от­рез­ки KC и AB пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те MN, если а ра­ди­ус малой окруж­но­сти равен

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

У Пети есть мо­не­ты но­ми­на­лом 1, 2, 5 и 10 руб­лей. Каж­до­го вида монет у него по 100 штук. Цена пи­рож­но­го в руб­лях вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Петя хочет ку­пить пи­рож­ное без сдачи, но до по­куп­ки не знает сколь­ко оно стоит.

а)  Может ли Петя вы­брать дома 16 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 100  руб­лей?

б)  Может ли Петя вы­брать дома 5 монет так, чтобы ку­пить пи­рож­ное сто­и­мо­стью не более 25  руб­лей?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет нужно взять Пете, если из­вест­но, что пи­рож­ное стоит не более 100  руб­лей?