а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AD  =  12, а вы­со­та равна 3. На реб­рах AB, CD, AS от­ме­че­ны точки E, F и К со­от­вет­ствен­но, при­чем и AK  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти KEF и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки К до плос­ко­сти SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

У фер­ме­ра есть два ком­бай­на. Оба ком­бай­на ис­поль­зу­ют­ся для убор­ки зер­но­вых, но вто­рой ком­байн более со­вре­мен­ный. В ре­зуль­та­те, если пер­вый ком­байн ра­бо­та­ет m² часов, то за это время он со­би­ра­ет 8m т зер­но­вых; если вто­рой ком­байн ра­бо­та­ет m² часов, то за это время он со­би­ра­ет 15m т зер­но­вых. За каж­дый час ра­бо­ты фер­мер пла­тит каж­до­му ком­бай­не­ру 200 руб­лей. Фер­мер готов вы­де­лять 20 000 руб­лей на опла­ту труда ком­бай­не­ров. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство тонн зер­но­вых можно со­брать на эти день­ги с по­мо­щью двух ком­бай­нов?

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка О.

а)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник АВCD окруж­но­сти, если AC  =  12 и BD  =  13.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень.

В груп­пе по­ров­ну юно­шей и де­ву­шек. Юноши от­прав­ля­ли элек­трон­ные пись­ма де­вуш­кам. Каж­дый юноша от­пра­вил или 4 пись­ма, или 21 пись­мо, причём и тех, и дру­гих юно­шей было не менее двух. Воз­мож­но, что какой-⁠то юноша от­пра­вил какой-⁠то де­вуш­ке не­сколь­ко писем.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что каж­дая де­вуш­ка по­лу­чи­ла ровно 7 писем?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство де­ву­шек могло быть в груп­пе, если из­вест­но, что все они по­лу­чи­ли писем по­ров­ну?

в)  Пусть все де­вуш­ки по­лу­чи­ли раз­лич­ное ко­ли­че­ство писем (воз­мож­но, какая-то де­вуш­ка не по­лу­чи­ла писем во­об­ще). Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство де­ву­шек в такой груп­пе?