а)  Да, на­при­мер, если в пер­вый день вы­пи­сать де­вять раз число 20, а каж­дый сле­ду­ю­щий день при вы­пи­сы­ва­нии за­ме­нять оче­ред­ное число 20 на че­ты­ре еди­ни­цы.

б)  Ясно, что в пер­вый день было вы­пи­са­но не менее 600 : 20  =  30 чисел. Через 154 дня будет вы­пи­са­но не менее 30 + 3 · 154  =  492 числа с сум­мой не более 600 − 154  =  446, что не­воз­мож­но.

в)  До­пу­стим, Оля вы­пи­сы­ва­ла какие-то числа в те­че­ние k дней. За­ме­тим для на­ча­ла, что если за­ме­нить из­на­чаль­ные числа на 15 эк­зем­пля­ров числа 20, то вы­пи­сан­ные числа по-⁠преж­не­му будут удо­вле­тво­рять усло­вию (ко­ли­че­ство чисел в пер­вый день мы разве что умень­ши­ли). Вы­бе­рем пер­вый день  — если такой есть  — когда на сле­ду­ю­щий день ко­ли­че­ство чисел уве­ли­чи­лось более чем на три или сумма умень­ши­лась более чем на один. Оче­вид­но, это можно ис­пра­вить: уда­лим лиш­ние числа и рас­пре­де­лим их сумму (и не­до­ста­ю­щее до ста­рой суммы, умень­шен­ной на 1) по дру­гим сла­га­е­мым. Это воз­мож­но, ведь даже бОль­шую сумму можно рас­пре­де­лить по мень­ше­му числу сла­га­е­мых, что было сде­ла­но в преды­ду­щий день. При этом для всех сле­ду­ю­щих дней усло­вия за­да­чи будут по-преж­не­му вы­пол­не­ны, а общая сумма чисел не умень­шит­ся. Итак, можно счи­тать, что каж­дый день чисел пишут ровно на три боль­ше, а их сумма ста­но­вит­ся на один мень­ше.

Зна­чит, через k дней, то есть на k + 1-ый день, будет вы­пи­са­но 15 + 3k чисел с сум­мой 300 − k, от­ку­да 15 + 3k < 300 − k, 285 > 4k, k ≤ 71. C дру­гой сто­ро­ны, вы­пи­сы­вать 18, 21, ..., 228 числа с сум­ма­ми 299, 298, ..., 229 дей­стви­тель­но можно. На­при­мер, возь­мем дан­ное ко­ли­че­ство еди­ниц, потом не­ко­то­рые из них по оче­ре­ди уве­ли­чим до двоек, если этого не хва­тит  — уве­ли­чим двой­ки до троек и так далее. С каж­дым дей­стви­ем сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 и в итоге могла бы до­стиг­нуть ми­ни­мум 18 · 20  =  360 > 299, по­это­му все про­ме­жу­точ­ные ва­ри­ан­ты тоже будут по­лу­че­ны. В итого по­лу­чим тогда

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  19 044.