Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 506031

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?

б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?

в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь девятых?

Решение.

а) Пусть ровно треть задач легкие, а остальные — трудные. Пусть треть школьников решит все легкие задачи и ровно половину трудных, а другая треть школьников решит все легкие задачи и другую половину трудных. Последняя треть школьников пусть не решит ничего. Тогда все условия выполнены.

б) Пусть трудных задач всего Т, а легких задач — Л. Пусть школьников всего Ш, и общее количество всех решенных задач равно Р. Тогда получаются следующие неравенства:

0,75(Т + Л) · 0,75Ш ≤  Р;

Р ≤  Л · 0,75Ш + 0,25Ш · 0,75(Т + Л).

Отсюда следует неравенство:

0,75(Т + Л) · 0,75Ш ≤  Л · 0,75Ш + 0,25Ш · 0,75(Т + Л).

Поделим все на 0,75Ш и преобразуем неравенство:

0,75Т + 0,75Л ≤ Л + 0,25Т + 0,25Л,

но тогда Т ≤  Л, а по условию должно выполняться неравенство Т ≥ 3Л. Противоречие.

в) Пусть обозначения такие же, как в пункте б), тогда аналогично получаем неравенства:

 дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 (Т + Л) ·  дробь, числитель — 7, знаменатель — 9  Ш ≤  Р;

Р ≤ Л ·  дробь, числитель — 7, знаменатель — 9  Ш +  дробь, числитель — 2, знаменатель — 9  Ш ·  дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 (Т + Л).

После аналогичных преобразований получаем, что с одной стороны Т ≤ 0,8Л, а с другой, по условию Т ≥ 3,5Л. Противоречие.

 

Ответ: а) да; б) да, изменится; в) да, изменится.

 

Приведем решение задачи в общем виде.

Пусть M — количество школьников, писавших работу, N — количество задач в работе.

Пусть a — минимальная доля трудных задач. По условию она равна минимальной доле школьников, успешно написавших контрольную работу, то есть решивших не менее, чем aN задач.

Пусть P — общее количество решенных задач. Тогда P больше или равно aN умножить на aM равносильно P больше или равно a в степени 2 NM.

С другой стороны, aN задач (трудных) решили не более чем (1-a)M школьников, и если даже остальные задачи решат все школьники, то P меньше или равно (1 минус a)N умножить на 1M плюс aN умножить на (1 минус a)M равносильно P меньше или равно (1 минус a в степени 2 ) NM.

Такая ситуация возможна при условии a в степени 2 MN меньше или равно P меньше или равно (1 минус a в степени 2 )NM равносильно a в степени 2 меньше или равно 1 минус a в степени 2 .

Для пункта а) это условие выполняется:  левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 правая круглая скобка в степени 2 меньше или равно 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 правая круглая скобка в степени 2 , следовательно, такая ситуация возможна.

Для пункта б) это условие не выполняется:  левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 правая круглая скобка в степени 2 меньше или равно 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 правая круглая скобка в степени 2 , следовательно, такая ситуация невозможна.

Для пункта в) условие также не выполняется, и такая ситуация невозможна.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки