а)  Пер­вый игрок либо от­даст вто­ро­му две го­ро­ши­ны (на это вто­рой даст ему одну, и у пер­во­го не будет ходов), либо от­даст одну. В этом слу­чае вто­рой игрок может от­дать ему две го­ро­ши­ны, назад по­лу­чит три, от­даст че­ты­ре и по­бе­дит. Так или иначе вы­иг­ры­ва­ет вто­рой игрок.

б)  Если пер­вый игрок от­даст три или две, назад по­лу­чит одну и сразу про­иг­ра­ет. Если же от­даст одну, то назад по­лу­чит две. Далее у пер­во­го два ва­ри­ан­та хода, но оба плохи: отдав 4, он по­лу­чит назад 3 и про­иг­ра­ет, а отдав 3, по­лу­чит 4, будет вы­нуж­ден от­дать 5, по­лу­чит 6 и всё равно про­иг­ра­ет.

в)  По­бе­дит вто­рой игрок, при­дер­жи­ва­ясь пра­ви­ла: «вся­кий раз от­да­вай ми­ни­маль­но воз­мож­ное число го­ро­шин». До­ка­жем, что это дей­стви­тель­но вы­иг­рыш­ная стра­те­гия. До­ста­точ­но по­ка­зать, что у вто­ро­го иг­ро­ка все­гда будет ход. На­чи­на­ет игру у нас пер­вый игрок, но мы схит­рим и сде­ла­ем так, чтобы игру на­чи­нал вто­рой: пред­по­ло­жим, что вто­рой (услов­но) пе­ре­даёт сна­ча­ла пер­во­му 0  го­ро­шин. Те­перь можно ви­деть, что вся­кий раз в ответ на ход вто­ро­го пер­вый игрок вы­нуж­ден будет от­дать ему боль­ше, чем сам по­лу­чил. По­это­му ко­ли­че­ство го­ро­шин у вто­ро­го с каж­дым пар­ным ходом будет уве­ли­чи­вать­ся хотя бы на одну. Перед K-⁠м ходом у него будет не менее N + K го­ро­шин. А от­дать на K-⁠м ходу он в со­от­вет­ствии со своей стра­те­ги­ей дол­жен не более 2K го­ро­шин. Это осу­ще­стви­мо, по­сколь­ку более чем N ходов игра длить­ся не может, а зна­чит N + K ≥ 2K.

Ответ: а)  по­беж­да­ет вто­рой игрок; б)  по­беж­да­ет вто­рой игрок; в)  по­беж­да­ет вто­рой игрок.