СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 509847

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

Пусть исходные числа равны и пусть причем

а) Решим систему уравнений:

Примером исходного набора чисел может быть 22 двузначных числа, начинающихся с единицы, сумма единиц которых дает 143. Например, это двадцать чисел 17, число 11 и число 12.

б) Решим систему уравнений:

Полученная система не имеет целых решений, поэтому условие п. б) невозможно.

в) Требуется определить, для какого наибольшего S имеет натуральные решения система уравнений

Заметим, что 363 кратно 33, поэтому из второго уравнения заключаем, что кратно 33, то есть Тогда

Наибольшему значению соответствует наибольшее значение причем из первого уравнения ясно, что Вспоминая, что получаем оценки и находим, что наибольшее будет достигнуто при одновременном выполнении и то есть, при выполнении системы неравенств:

Тогда

 

Наибольшим значением , при котором и будут натуральными, является (, , ). Таким образом, наибольшее значение Это может быть достигнуто при таком наборе чисел: одиннадцать чисел 19, семь чисел 18 и одно число 28 (; ).

Источник: ЕГЭ — 2015. До­сроч­ная волна, вариант А. Ларина.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки